Вернемся к изучению задачи о движении частицы в центральном поле. Будем искать решения уравнения
\[
-\frac{1}{2 \mu} \Delta \psi+V(r) \psi=E \psi
\]
или, используя формулу (23.5),
\[
-\frac{1}{2 \mu r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{L^{2}}{2 \mu r^{2}} \psi+V(r) \psi=E \psi .
\]

Мы видели, что собственные подпространства оператора Шредингера \( H \) в случае отсутствия случайных вырождений должны совпадать с подпространствами неприводимых представлений \( D_{l} \), а при наличии случайных вырождений являться прямой суммой таких подпространств. Ясно, что все независимые собственные функции оператора \( H \) можно построить, если мы будем искать их в виде
\[
\psi(r, \mathbf{n})=R_{l}(r) Y_{l m}(\mathbf{n}) .
\]

Эти функции уже являются собственными функциями операторов \( L^{2} \) и \( L_{3} \)
\[
L^{2} \psi=l(l+1) \psi, L_{3} \psi=m \psi,
\]
а потому описывают состояния частицы с определенными значениями квадрата момента импульса и его третьей проекции.
Подстановка (2) в (1) дает нам уравнение для \( R_{l}(r) \)
\[
-\frac{1}{2 \mu r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{d R_{l}(r)}{d r}\right)+\frac{l(l+1)}{2 \mu r^{2}} R_{l}(r)+V(r) R_{l}(r)=E R_{l}(r) .
\]

Введем новую неизвестную функцию
\[
R_{l}(r)=\frac{f_{l}(r)}{r},
\]
и уравнение для \( f_{l}(r) \) примет вид
\[
-\frac{1}{2 \mu} \frac{d^{2} f_{l}}{d r^{2}}+\frac{l(l+1)}{2 \mu r^{2}} f_{l}+V(r) f_{l}=E f_{l} .
\]

Это уравнение носит название радиального уравнения Шредингера. Обратим внимание на некоторые особенности уравнения (3). Прежде всего параметр \( m \) не входит в уравнение, физически это означает, что энергия частицы не зависит от проекции
Рис. 7. момента на ось \( x_{3} \). Для каждого \( l \) получается свое радиальное уравнение. Спектр радиального уравнения всегда простой (это можно доказать), поэтому случайные вырождения возможны, если уравнения (3) с разными \( l \) имеют одинаковые собственные значения.
Радиальное уравнение по виду совпадает с уравнением Шредингера для одномерной частицы
\[
-\frac{1}{2 \mu} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+V \psi=E \psi
\]
если ввести так называемый эффективный потенциал
\[
V_{\text {эф }}(r)=V(r)+\frac{l(l+1)}{2 \mu r^{2}} .
\]

Есть, однако, одно существенное отличие. Функция \( \psi(x) \) определена на \( \mathbf{R} \), а \( f_{l}(r) \) на \( \mathbf{R}^{+} \), поэтому радиальное уравнение эквивалентно одномерному уравнению Шредингера для задачи с потенциалом \( V(x) \) при условии, что \( V(x)=\infty \) при \( x<0 \).

На рис. 7 изображены графики функций \( V(r), l(l+1) /\left(2 \mu r^{2}\right) \) и \( V_{\text {эф }}(r) \). В качестве \( V(r) \) взят кулоновский потенциал притяжения \( -\alpha / r(\alpha>0) \).

Выражение \( l(l+1) /\left(2 \mu r^{2}\right) \) может быть истолковано как потенциал отталкивания, возникающий за счет центробежной силы. Поэтому это выражение обычно называют центробежным потенциалом.
В квантовой механике прихсдится решать задачи с самыми различными потенциалами \( V(r) \). Наиболее важными из них, по-видимому, являются кулоновский потенциал \( V(r)=\alpha / r \), описывающий взаимодействие заряженных частиц, и потенциал Юкавы \( V(r)=g \frac{e^{-\mu r}}{r} \), который часто используется в ядерной физике.

Обычно рассматриваются потенциалы, которые при \( r \rightarrow 0 \) менее сингулярны, чем \( 1 / r^{2-\varepsilon}(\varepsilon>0) \). В зависимости от поведения при \( r \rightarrow \infty \) убывающие \( (V(r) \rightarrow 0) \) потенциалы делятся на короткодействующие \( V(r)=o\left(1 / r^{2+\varepsilon}\right), \varepsilon>0 \) и дальнодействующие, которые этому условию не удовлетворяют. Потенциал Юкавы является короткодейетвующим потенциалом, а кулоновский потенциал – дальнодействующим. Спектр радиального оператора Шредингера
\[
H_{l}=-\frac{d^{2}}{d r^{2}}+\frac{l(l+1)}{r^{2}}+V(r)\left(\mu=\frac{1}{2}\right)
\]
хорошо изучен для весьма широхого класса потенциалов. В случае растущего потенциала \( V(r) \rightarrow \infty \) при \( r \rightarrow \infty \) спектр чисто точечный простой. В случае убывающего потенциала интервал \( 0<E<\infty \) заполнен непрерывным спектром, отрицательный спектр дискретный. Для короткодействующего потенциала положительный спектр простой, непрерывный, а отрицательный состоит из конечного числа собственных значений.

Приведем простые соображения, позволяющие понять основные особенности спектра \( H_{l} \). Для этого посмотрим, как ведут себя решения радиального уравнения при \( r \rightarrow 0 \) и \( r \rightarrow \infty \). Если при \( r \rightarrow \infty \) пренебречь членом \( V_{\text {эф }} \) в радиальном уравнении, то оно сведется к
\[
-\frac{1}{2 \mu} f_{l}^{\prime \prime}+E f_{l}=0 .
\]

При \( E>0 \) это уравнение имеет два линейно-независимых решения \( e^{-i k r} \) и \( e^{i k r}, k^{2}=2 \mu E>0, k>0 \). При \( E<0 \) линейнонезависимые решения имеют вид \( e^{-x r} \) и \( e^{x r}, x^{2}=-2 \mu E>0 \), \( x>0 \).

В случае \( r \rightarrow 0 \) можно надеяться, что мы получим правильное поведение решений радиального уравнения, если в этом уравнении из членов линейных по \( f_{l} \) оставим наиболее сингулярный \( \frac{l(l+1)}{2 \mu r^{2}} f_{l} \), тогда
\[
f_{l}^{\prime \prime}-\frac{l(l+1)}{r^{2}} f_{l}=0
\]

Это уравнение имеет два линейно-независимых решения \( r^{-1} \) и \( r^{l+1} \).

Теперь посмотрим, какие условия разумно наложить на решения радиального уравнения. Нас интересуют решения уравнения
Шредингера \( \psi(\mathbf{x})=\frac{f_{l}(r)}{r} Y_{l_{m}}(\mathbf{n}) \cdot \) Функции \( \psi(\mathbf{x}) \) должны быть непрерывными в \( \mathbf{R}^{3} \) и либо квадратично интегрируемыми, либо ограниченными во всем пространстве. В первом случае они являются собственными функциями в обычном смысле слова, а во втором – с их помощью может быть описан непрерывный спектр.

Из непрерывности \( \psi(\mathbf{x}) \) следует условие \( f_{l}(0)=0 \). Поэтому интерес представляет только такое решение радиального уравнения, которое при \( r \rightarrow 0 \) ведет себя, как \( C r^{l+1} \). Это условие определяет \( f_{l}(r) \) с точностью до численного множителя. Далее при \( E<0 \) мы должны найти решение \( f_{l}(r) \), которое при \( r \rightarrow \infty \) ведет себя, как \( C e^{-x r} \) (в противном случае решение будет неограниченным). При произвольном отрицательном \( E \) эти условия оказываются несовместными. Те значения \( E \), для которых удается построить решение, имеющее правильное поведение в нуле и на бесконечности, и есть собственные значения.

При любом \( E>0 \) решение \( f_{l}(r) \) является ограниченным, поэтому достаточно, чтобы оно имело правильное поведение в нуле. Спектр при \( E>0 \) – непрерывный.

Собственные функции дискретного спектра описывают частицу, локализованную в окрестности силового центра, т. е. соответствуют финитному движению. При помощи собственных функций непрерывного спектра могут быть описаны состояния, в которых движение частицы является инфинитным.

Собственные функции дискретного спектра радиального уравнения мы будем обозначать через \( f_{k l}(r) \), где индексом \( k \) нумеруются собственные значения \( E_{k l} \) уравнения при данном \( l \),
\[
H_{l} f_{k l}=E_{k l} f_{k l} \text {. }
\]

Собственные функции непрерывного спектра, соответствующие энергии \( E \), будем обозначать через \( f_{E l} \)
\[
H_{l} f_{E l}=E f_{E t} \text {. }
\]

Для широкого класса потенциалов доказана полнота си стемы функций \( \left\{f_{k l}, f_{E l}\right\} \) для каждого \( l=0,1,2, \ldots \) Это значит, что для произвольной функции * \( f(r) \in L^{2}(0, \infty) \) справедливо представление:
где
\[
f(r)=\sum_{k} C_{k} f_{k l}(r)+\int_{0}^{\infty} C(E) f_{E l}(r) d E,
\]
\[
C_{k}=\int_{0}^{\infty} f(r) \overline{f_{k l}(r)} d r, C(E)=\int_{0}^{\infty} f(r) \overline{f_{E l}(r)} d r .
\]
* Через \( L^{2}(0, \infty) \) мы обозначили пространство квадратично интегрируемых функций (без веса \( r^{2} \) ) на \( \mathbf{R}^{+} \). Если \( f \in L^{2}(0, \infty) \), то \( R=\frac{f}{r} \in L^{2}\left(\mathbf{R}^{+}\right) \).
Вернемся к трехмерной задаче. Функции дискретного спектра имеют вид
\[
\psi_{k l m}(\mathbf{x})=\frac{f_{k l}(r)}{r} Y_{l m}(\mathbf{n})
\]
и кратность собственного значения \( E_{k l} \) равна \( 2 l+1 \) (при отсутствии случайных вырождений). Для собственных функций нерпрерывного спектра имеем
\[
\psi_{E l m}=\frac{f_{E l}(r)}{r} Y_{l m}(\mathbf{n}) .
\]

Кратность непрерывного спектра бесконечная, так как для произвольного \( E>0 \) есть решения радиальных уравнений при всех \( l \) и, кроме того, \( m=-l,-l+1, \ldots, l \).

Параметры \( k, l \) и \( m \), которые определяют собственные функции точечного спектра, называются радиальным, орбитальным и магнитным квантовыми числами соответственно. Эти названия появились в старой квантовой теории Бора-Зоммерфельда, в которой каждому допустимому значению энергии соответствовала определенная классическая орбита (или несколько таких орбит). Числа \( k \) и \( l \) определяли размеры и форму орбиты, а число \( m \)-ориентацию плоскости орбиты в пространстве. Число \( m \) играет существенную роль в магнитных явлениях, этим объясняется его название.

Из полноты системы функций \( \left\{f_{k l}, f_{E l}\right\} \) в \( L^{2}(0, \infty) \) следует полнота системы \( \left\{\psi_{k l m}(\mathbf{x}), \psi_{E l m}(\mathbf{x})\right\} \) в \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \). Для краткости записи рассмотрим случай, когда точечный спектр у оператора \( H \) отсутствует. В этом случае произвольная функция \( \psi(\mathbf{x}) \Subset \) \( \in L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) может быть представлена в виде
\[
\psi(\mathbf{x})=\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \int_{0}^{\infty} C_{l m}(E) \psi_{E l m}(\mathbf{x}) d E,
\]

Ясно, что \( \psi \) определяется последовательностью функций \( \left\{C_{l m}(E)\right\} \), поэтому мы получаем представление
\[
\psi \leftrightarrow\left\{C_{l m}(E)\right\}
\]
в пространстве последовательностей функций.
Скалярное произведение в этом пространстве задается формулой
\[
\left(\psi_{1}, \psi_{2}\right)=\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \int_{0}^{\infty} C_{l m}^{(1)}(E) \overline{C_{l m}^{(2)}(E)} d E .
\]

Из того факта, что \( \psi_{\text {Elm }}(\mathbf{x}) \) естз собственная функция операторов \( H, L^{2} \) и \( L_{3} \), легко понять, что в построенном представлении
операторы \( H, L^{2} \) и \( L_{3} \) действуют следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
H C_{l m}(E)=E C_{l m}(E), \\
L^{2} C_{l m}(E)=l(l+1) C_{l m}(E), \\
L_{3} C_{l m}(E)=m C_{l m}(E) .
\end{array}
\]

Поэтому построенное представление является собственным для трех коммутирующих операторов \( H, L^{2} \) и \( L_{3} \). (Уравнения (5) не следует путать с уравнениями для собственных векторов.)