Опишем наиболее часто используемое в квантовой механике так называемое координатное представление. Иногда его называют представлением Шредингера. В этом представлении в качестве пространства состояний для материальной точки выбирается

* Приведенная формулировка не является точной, так как имеются тонкости, связанные с неограниченностью операторов \( P \) и \( Q \), которые мы не обсуждаем. Подобные трудности не возникнут, если вместо самих операторов \( P \) и \( Q \) рассматривать ограниченные функции от этих операторов, Точную формулировку теоремы Неймана – Стоуна мы приведем в § 13 .

пространство \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) квадратично интегрируемых комплекснозначных функций \( \varphi(\mathbf{x})=\varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \). Скалярное произведение определяется равенством
\[
\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\int_{\mathbf{R}^{s}} \Phi_{1}(\mathbf{x}) \overline{\varphi_{2}(\mathbf{x})} d \mathbf{x} .
\]

Операторы \( Q_{j} \) и \( P_{j}, j=1,2,3 \) вводятся формулами
\[
\begin{array}{c}
Q_{j} \varphi(\mathbf{x})=x_{j} \varphi(\mathbf{x}), \\
P_{j} \varphi(\mathbf{x})=\frac{h}{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \varphi(\mathbf{x}) .
\end{array}
\]

Это неограниченные операторы, что соответствует физическому смыслу наблюдаемых, так как численные значения координат и импульсов неограничены. На области \( D \), образованной бесконечно дифференцируемыми функциями, убывающими быстрее любой степени, определены сами операторы \( Q_{j} \) и \( P_{j} \) и любые их целые положительные степени. Очевидно, область \( D \) плотна в \( \mathscr{H} \). Можно показать, что операторы \( Q_{j} \) и \( P_{j} \) имеют единственные самосопряженные расширения по замыканию. Симметрия этих операторов проверяется просто. Например, для \( P_{1} \) и любых функций \( \psi \in D, \varphi \in D \), интегрируя по частям, имеем
\[
\begin{array}{l}
\left(P_{1} \varphi, \psi\right)=\int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{x} \frac{h}{i} \frac{\partial \varphi(\mathbf{x})}{\partial x_{1}} \overline{\psi(\mathbf{x})}=\left.\int_{-\infty}^{\infty} d x_{2} \int_{-\infty}^{\infty} d x_{3} \frac{h}{i} \varphi(\mathbf{x}) \overline{\Psi(\mathbf{x})}\right|_{x_{1}=-\infty} ^{x_{1}=\infty}- \\
-\int_{\mathbf{R}^{3}} d \mathbf{x} \varphi(\mathbf{x}) \frac{h}{i} \frac{\overline{\partial \psi(\mathbf{x})}}{\partial x_{1}}=\int_{\mathbf{R}^{2}} d \mathbf{x} \varphi(\mathbf{x}) \overline{\frac{h}{i} \frac{\partial \psi(\mathbf{x})}{\partial x_{1}}}=\left(\varphi, P_{1} \psi\right) . \\
\end{array}
\]

Проверим перестановочные соотношения (10.7). Первые два из них очевидны, а третье следует из равенств
\[
\begin{array}{c}
P_{k} Q_{j} \varphi(\mathbf{x})=\frac{h}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(x_{j} \varphi(\mathbf{x})\right)=\frac{h}{i} \delta_{j k} \varphi(\mathbf{x})+x_{j} \frac{h}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \varphi(\mathbf{x}), \\
Q_{j} P_{k} \varphi(\mathbf{x})=x_{j} \frac{h}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \varphi(\mathbf{x}) .
\end{array}
\]

Таким образом, мы действительно построили представление соотношений (10.7) линейными операторами. Неприводимость этого представления мы докажем позже.

Приведем еще один пример представления (импульсное представление). В этом представлении пространство состояний \( \mathscr{H} \) тоже является комплексным пространством \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) с элементами \( \varphi(\mathbf{p}) \), а операторы \( Q_{j} \) и \( P_{j}, j=1,2,3 \) определяются следуюцим образом:
\[
\begin{array}{c}
Q_{j} \varphi(\mathbf{p})=\operatorname{ih} \frac{\partial}{\partial p_{j}} \varphi(\mathbf{p}), \\
P_{j} \varphi(\mathbf{p})=p_{j} \varphi(\mathbf{p}) .
\end{array}
\]

Перестановочные соотношения (10.7) проверяются так же, как для координатного представления, и так же доказывается неприводимость. По теореме Неймана – Стоуна эти представления унитарно эквивалентны, т. е. должно существовать унигарное преобразование *
\[
\varphi(\mathbf{x}) \xrightarrow{D} \varphi(\mathbf{p}),
\]

при котором операторы, определенные формулами (3), превращаются в операторы (2). Нетрудно видеть, что таким преобразованием является преобразование Фурье
\[
\begin{array}{l}
\varphi(\mathbf{x})=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{s}} e^{\frac{i}{h} \mathbf{p} \mathbf{x}} \varphi(\mathbf{p}) d \mathbf{p}, \\
\varphi(\mathbf{p})=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{s}} e^{-\frac{i}{h} \mathbf{p x}} \varphi(\mathbf{x}) d \mathbf{x} .
\end{array}
\]

Унитарность преобразования Фурье следует из равенства Парсеваля
\[
\int_{\mathbf{R}^{3}}|\varphi(\mathbf{x})|^{2} d x=\int_{\mathbf{R}^{3}}|\varphi(\mathbf{p})|^{2} d \mathbf{p} .
\]

Применяя оператор \( \frac{h}{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \) к выражению (4), получим
\[
\frac{h}{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{s}} e^{\frac{i}{h} \mathbf{p x}} \varphi(\mathbf{p}) d \mathbf{p}=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{s}} e^{\frac{i}{h} \mathbf{p x}} p_{j} \varphi(\mathbf{p}) d \mathbf{p} .
\]

Мы видим, что при унитарном преобразовании \( W \) оператор \( \frac{h}{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \) превращается в оператор умножения на переменную \( p_{j} \). Аналогично проверяется, что
\[
x_{j} \varphi(x) \xrightarrow{W} i h \frac{\partial}{\partial p_{j}} \varphi(\mathbf{p}) .
\]

Таким образом, мы проверили унитарную эквивалентность координатного и импульсного представлений.

Выпишем формулы преобразования интегральных операторов при переходе от координатного к импульсному представ-
* Мы сознательно используем один и тот же символ для обозначения разных функций \( \varphi(\mathbf{x}) \) и \( \varphi(\mathbf{p}) \), так кєк обе эти функции представляют один и тот же вектор состояния \( \varphi \).

лению:
\[
\begin{array}{c}
A \varphi(\mathbf{x})=\int_{\mathbf{R}^{.}} A(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \varphi(\mathbf{y}) d \mathbf{y} \\
A \varphi(\mathbf{p})=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbf{R}^{3}} e^{-\frac{i}{h} \mathbf{p} \mathbf{x}} A \varphi(\mathbf{x}) d \mathbf{x}= \\
=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{3} \int_{R^{3}} e^{-\frac{i}{h} \mathbf{p} \mathbf{x}} A(\mathbf{x}, \mathbf{y}) e^{\frac{i}{h} \mathbf{q}} \varphi(\mathbf{q}) d \mathbf{x} d \mathbf{y} d \mathbf{q}= \\
=\int_{R^{3}} A(\mathbf{p}, \mathbf{q}) \varphi(\mathbf{q}) d \mathbf{q},
\end{array}
\]

где
\[
A(\mathbf{p}, \mathbf{q})=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{3} \int_{R^{6}} e^{-\frac{i}{h} \mathbf{p x}} A(\mathbf{x}, \mathbf{y}) e^{\frac{i}{h} \mathbf{q} \mathbf{y}} d \mathbf{x} d \mathbf{y} .
\]

Если оператор в координатном представлении является оператором умножения на функцию \( f(\mathbf{x}) \), то его можно рассматривать как интегральный с ядром
\[
A(\mathbf{x}, \mathbf{y})=f(\mathbf{x}) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y}) .
\]

В импульсном представлении ядро такого оператора зависит только от разности переменных и имеет вид
\[
A(\mathbf{p}, \mathbf{q})=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{3} \int_{R^{3}} f(\mathbf{x}) e^{\frac{i}{h} \mathbf{x}(\mathbf{q}-\mathbf{p})} d \mathbf{x} .
\]

Формулы преобразования от импульсного представления к координатному отличаются знаком в показателях экспонент
\[
A(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{3} \int_{R^{8}} e^{\frac{i}{h} \mathbf{p x}} A(\mathbf{p}, \mathbf{q}) e^{-\frac{i}{h} \mathbf{q} \mathbf{y}} d \mathbf{p} d \mathbf{q},
\]

и если
\[
\begin{array}{c}
A(\mathbf{p}, \mathbf{q})=F(\mathbf{p}) \delta(\mathbf{p}-\mathbf{q}), \text { то } \\
A(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\left(\frac{1}{2 \pi h}\right)^{3} \int_{R^{3}} F(\mathbf{p}) e^{\frac{i}{h} \mathbf{p}(\mathbf{x}-\mathbf{y})} d \mathbf{p} .
\end{array}
\]

Выясним теперь физический смысл функций \( \varphi(\mathbf{x}) \) и \( \varphi(\mathrm{p}) \), которые обычно называют волновыми функциями. Начнем с волновой функции в координатном представлении \( \varphi(\mathbf{x}) \). В этом представлении операторы \( Q_{i}(i=1,2,3 \) ) есть операторы умножения на переменные \( x_{i} \), т. е. координатное представление является собственным для операторов \( Q_{i} \). Чтобы пояснить это, сделаем небольшое математическое отступление.

Задать функциональное представление гильбертова пространства \( \mathscr{C} \)-это значит задать взаимно-однозначное соответствие между векторами этого пространства и функциями веще-

ственной переменной \( \varphi \leftrightarrow \varphi(x) \) и задать меру на вешественной оси \( d m(x) \) так, что
\[
(\varphi, \psi)=\int_{R} \varphi(x) \overline{\psi(x)} d m(x) .
\]

Значения функции \( \varphi(x) \) могут быть комплексными числами или функциями от других переменных, т. е. являться элементами какого-то дополнительного пространства, и \( \varphi(x) \overline{\psi(x)} \) тогда обозначает скалярное произведение в этом дополнительном пространстве. В первом случае представление называется простым, а во втором – кратным. Две функции \( \varphi(x) \) следует считать равными, если они отличаются только на множестве \( m \)-меры нуль.

Представление называется спектральным для оператора \( A \), если действие этого олератора сводится к умножению на некоторую функцию \( f(x) \)
\[
A \varphi \leftrightarrow f(x) \varphi(x) .
\]

Представление называется прямым или собственным для оператора \( A \), если \( f(x)=x \),
\[
A \varphi \leftrightarrow x \varphi(x) .
\]

Спектр оператора \( A \) может быть описан как носитель функции распределения меры. Скачки меры соответствуют собственным числам. Если мера абсолютно непрерывна, то спектр непрерывный.

Напомним, что в конечномерном пространстве \( \mathbf{C}^{n} \) мы называли собственным для оператора \( A \) такое представление, в котором векторы \( \varphi \) задавались коэффициентами разложения \( \varphi_{i} \) по собственному базису оператора \( A \). Пусть спектр оператора \( A \) простой
\[
\begin{array}{c}
A \psi_{i}=a_{i} \psi_{i}, \\
\varphi=\sum_{i=1}^{n} \varphi_{i} \psi_{i}, \quad \varphi_{i}=\left(\varphi, \psi_{i}\right) .
\end{array}
\]

Вектору \( \varphi \) можно сопоставить функцию \( \varphi(x) \), такую, что \( \varphi\left(a_{i}\right)=\varphi_{i} \) (значения функции \( \varphi(x) \) при \( x
eq a_{i} \) выбираются произвольно). Функцию распределения меры выберем кусочнопостоянной с единичными скачками при \( x=a_{i} \). Оператор \( A \) тогда можно задать формулой
\[
A \varphi \leftrightarrow x \varphi(x),
\]

так как эта запись эквивалентна обычной
\[
A\left(\begin{array}{c}
\varphi_{1} \\
\cdot \\
\cdot \\
\varphi_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{1} \varphi_{1} \\
\vdots \\
a_{n} \varphi_{n}
\end{array}\right) .
\]

Кратному собственному значению \( a_{i} \) соответствует несколько собственных векторов. Мы можем ввести функцию \( \varphi(x) \), значение которой в точке \( a_{i} \) есть вектор с компонентами \( \varphi i k, k=1 \), \( 2, \ldots, r_{i} \). В этом случае представление будет кратным, и кратность его равна кратности \( r_{i} \) собственного числа \( a_{i} \).

Мы видим, что оператор в собственном представлении является аналогом диагональной матрицы в \( \mathbf{C}^{n} \).

В собственном представлении оператора \( A \) легко описать функцию \( f(A) \)
\[
f(A) \varphi \leftrightarrow f(x) \varphi(x) .
\]

В частности, для спектральной функции оператора \( P_{A}(\lambda)= \) \( =\theta(\lambda-A) \) формула (10) дает
\[
P_{A}(\lambda) \varphi \leftrightarrow \theta(\lambda-x) \varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\varphi(x), & x \leqslant \lambda, \\
0, & x>\lambda .
\end{array}\right.
\]

Спектр оператора \( A \) будет полностью описан, если для оператора \( A \) удастся построить его спектральное представление. Преобразование, которое переводит данное представление в спектральное, называется спектральным преобразованием.

Вернемся к координатному представлению. Мы видим, что оно действительно является собственным кратным представлением для трех операторов \( Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} \) :
\[
Q_{1} \varphi \leftrightarrow x_{1} \varphi\left(x_{1}\right) .
\]

Значение \( \varphi\left(x_{1}\right) \) есть вектор дополнительного пространства, в данном случае функция от переменных \( x_{2} \) и \( x_{3} \). Скалярное произведение определяется формулой
\[
(\varphi, \psi)=\int_{R} \varphi\left(x_{1}\right) \overline{\psi\left(x_{1}\right)} d x_{1},
\]
т. е. в координатном представлении мера \( m(x) \) есть лебегова мера, носитель ее функции распределения – вся вещественная ось, а значит, спектр координаты непрерывный и заполняет всю ось.

Функция распределения координаты \( Q_{1} \) в чистом состоянии \( \omega \leftrightarrow P_{\varphi} \) имеет вид
\[
\omega_{Q_{1}}(\lambda)=\left(P_{Q_{1}}(\lambda) \varphi, \varphi\right)=\int_{-\infty}^{\lambda} \varphi\left(x_{1}\right) \overline{\varphi\left(x_{1}\right)} d x_{1},
\]

откуда следует, что
\[
\varphi\left(x_{1}\right) \overline{\varphi\left(x_{1}\right)}=\int_{R^{\prime}} \varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \overline{\varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)} d x_{2} d x_{3}
\]

есть плотность функции распределения координаты \( Q_{1} \). Аналогично записываются выражения для плотности функций распределения \( Q_{2} \) и \( Q_{3} \). Естественно ожидать, что \( |\varphi(x)|^{2} \) есть

плотность общей для всех координат функции распределения, т. е. вероятность найти частицу в области \( \Omega \) трехмерного пространства определяется выражением \( \int_{\Omega}|\varphi(\mathbf{x})|^{2} d \mathbf{x} \). Это утверждение мы проверим в разделе, посвященном системам коммутирующих наблюдаемых.

Импульсное представление является собственным для трех операторов \( P_{1}, P_{2}, P_{3} \), и \( |\varphi(\mathbf{p})|^{2} \) есть плотность общей для трех проекций импульса функции распределения.

Мы можем теперь с новой точки зрения взглянуть на соотношения неопределенности для координат и импульсов. Мы видим, что эти соотношения объясняются известным свойством преобразования Фурье. Чем сильнее концентрируется функция \( \varphi(\mathbf{x}) \) и тем самым уменьшаются неопределенности координат \( \Delta_{\omega} Q_{i} \), тем сильнее расплывается Фурье-образ \( \varphi(\mathbf{p}) \) и увеличиваются неопределенности импульсов \( \Delta_{\omega} P_{i} \).