$\mathrm{B}\mathrm{\S }25$ мы построили представление группы вращений в пространстве состояний $\mathcal{H}=L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)$ операторами
$$W(\mathbf{a})=\exp [-i(L_1{a}_1+L_2{a}_2+L_3{a}_3)]$$
где $L_1,L_2,L_3$ — операторы момента импульса. Напомним, что эти операторы действуют только на угловые переменные функции $\psi (\mathbf{x})\in L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)$, поэтому пространство $L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)$ удобно рассматривать как $L^2\left({\mathbf{R}}^{+}\right)\otimes L^2\left(S^2\right)$. Здесь $L^2\left({\mathbf{R}}^{+}\right)$- пространство квадратично интегрируемых функций $f(r)$ с весом $r^2$ на ${\mathbf{R}}^{+}$, a $L^2\left(S^2\right)$ — пространство функций $\psi (\mathbf{n})=\psi (\theta ,\phi )$, квадратично интегрируемых на единичной сфере. Скалярные произведения в этих пространствах вводятся формулами
$$(f_1,f_2)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{r}^2{f}_1(r)\overline{f_2(r)}dr,({\psi }_1,{\psi }_2)={\int }_{S^2}{\psi }_1(\mathbf{n}){\psi }_2(\mathbf{n})d\mathbf{n},$$
где $d\mathbf{n}=\sin \theta d\theta d\phi$-элемент поверхности единичной сферы.
Несколько громоздкие вычисления приводят к следующему виду операторов момента импульса в сферических координатах:
$$\begin{array}{c}{L}_1=i(\sin \phi \frac{\partial }{\partial \theta }+\mathrm{ctg}\theta \cos \phi \frac{\partial }{\partial \phi }),\\ L_2=-i(\cos \phi \frac{\partial }{\partial \theta }-\mathrm{ctg}\theta \sin \phi \frac{\partial }{\partial \phi }),\\ L_3=-i\frac{\partial }{\partial \phi }.\end{array}$$

Операторы $L_{\pm }=L_1\pm i{L}_2$ в этих переменных имеют вид
$$L_{+}=e^{i\phi }(\frac{\partial }{\partial \theta }+i\mathrm{ctg}\theta \frac{\partial }{\partial \phi }),L_{-}=e^{-i\phi }(-\frac{\partial }{\partial \theta }+i\mathrm{ctg}\theta \frac{\partial }{\partial \phi }).$$

Общие собственные функции операторов $L^2$ и $L_3$ будем обозначать через $Y_{lm}(\mathbf{n})$ (число $j$ для операторов $L$ принято обозначать через $l$ ). Уравнения $L_{+}{Y}_{ll}=0$ и $L_3{Y}_{ll}=l{Y}_{ll}$ в сферических координатах имеют вид
$$\begin{array}{c}-i\frac{\partial Y_{ll}}{\partial \phi }=l{Y}_{ll},\\ \frac{\partial Y_{ll}}{\partial \theta }+i\mathrm{ctg}\theta \frac{\partial }{\partial \phi }{Y}_{ll}=0.\end{array}$$
Из первого уравнения (1) видим, что
$$Y_{ll}(\theta ,\phi )=e^{il\phi }{F}_{ll}(\theta ),$$
причем $l$ может принимать только целые значения, $l=0,1$, $2,\dots$ Второе уравнение (1) ћозволяет получить уравнение для $F_{ll}(\theta )$
$$\frac{\partial F_{ll}(\theta )}{d\theta }-l\mathrm{ctg}\theta F_{ll}(\theta )=0.$$

Решая это уравнение, получим
$$F_{ll}(\theta )=C{\sin }^l\theta .$$
Заметим, что для каждого $l$ существует одно решение уравнения (2). Итак, мы нашли, что
$$Y_{ll}(\theta ,\phi )=C{\sin }^t\theta e^{il\phi },$$
причем постоянная $C$ может быть найдена из условия нормировки. Остальные функции $Y_{lm}(\mathbf{n})$ могут быть вычислены по формуле
$$Y_{l,m-1}=-\frac{1}{\sqrt{(l+m)(l-m+1)}}{e}^{-i\phi }(-\frac{\partial }{\partial \theta }+i\mathrm{ctg}\theta \frac{\partial }{\partial \phi })Y_{lm}.$$

Мы не будем проделывать соответствующих вычислений. Функции $Y_{lm}(\mathbf{n})$ называют нормированными сферическими функциями $l$-го порядка. Для них может быть получено выражение
$$Y_{lm}(\theta ,\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\phi }{P}_l^m(\cos \theta ),$$
где функции
$$P_l^m(\mu )=\sqrt{\frac{(l+m)!}{(l-m)!}}\sqrt{\frac{2l+1}{2}}\frac{1}{2^{l}l!}{(1-{\mu }^2)}^{-\frac{m}{2}}\frac{d^{l-m}{({\mu }^2-1)}^l}{d{\mu }^{l-m}}$$
носят название нормированных присоединенных полиномов Лежандра.

Итак, базис неприводимого представления в пространстве $L^2\left(S^2\right)$ состоит из сферических функций $Y_{lm}(\mathbf{n})$ при фиксированном $l$ и $m=-l,-l+1,\dots ,l$. Пространство $L^2\left(S^2\right)$ содержит подпространства неприводимых представлений всех нечетных размерностей $2l+1$ ( $l$— целое) по одному разу. Теорема o разложении представления группы вращений на неприводимые в данном случае эквивалентна утверждению о полноте сферических функций в $L^2\left(S^2\right)$. Любая функция $\psi (\mathrm{n})\in L^2\left(S^2\right)$ может быть разложена в сходяцийся ряд
$$\psi (\mathbf{n})=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^{!}{C}_{lm}{Y}_{lm}(\mathbf{n}).$$

Вспомним, что в пространстве ${\mathcal{D}}_2$ действовали неприводимые представления как четных так и нечетных размерностей. Пространство ${\mathcal{D}}_2$ можно представить в виде прямой суммы ${\mathcal{D}}_2^{+}\oplus {\mathcal{D}}_2^{-}$, где ${\mathcal{D}}_2^{+}$и ${\mathcal{D}}_2^{-}$- ортогональные подпространства четных и нечетных функций соответственно. В ${\mathcal{D}}_2^{+}$, как и в $L^2\left(S^2\right)$, действуют представления только нечетных размерностей. Любой элемент $f(z)⋐{\mathcal{D}}_2^{+}$может быть представлен в виде
$$f(z)=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l{C}_{lm}\frac{{\xi }^{l-m}{\eta }^{l+m}}{\sqrt{(l-m)!(l+m)!}}.$$

Ясно, что взаимно-однозначное соответствие
$$f(z)\leftrightarrow \psi (\mathbf{n})$$
устанавливает изоморфизм между пространствами ${\mathcal{D}}_2^{+}$и $L^2\left(S^2\right)$, при котором
$$\begin{array}{c}\frac{{\xi }^{l-m}{\eta }^{l+m}}{\sqrt{(l-m)!(l+m)!}}\leftrightarrow Y_{lm}(\mathbf{n}),\\ M_k\leftrightarrow L_k,k=1,2,3.\end{array}$$

В заключение этого параграфа рассмотрим представление группы вращений в пространстве состояний $L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)=L^2\left(S^2\right)\otimes$ $\otimes L^2\left({\mathbf{R}}^{+}\right)$. Пусть $\{f_n(r)\}$ — произвольный базис в $L^2\left({\mathbf{R}}^{+}\right)$. Тогда $\{f_n(r)Y_{lm}(\mathbf{n})\}$ — базис в пространстве $L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)$, и любая функция $\psi (\mathbf{x})\in L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)$ может быть разложена в ряд
$$\psi (\mathbf{x})=\sum _n\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l{C}_{nlm}{f}_n(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ).$$

Из этой формулы видно, что $L^2\left({\mathbf{R}}^3\right)$ также может быть разложено (причем многими способами) на подпространства, в которых действуют неприводимые представления группы вращений порядка $(2l+1)$, и каждое представление $D_l$ встречается бесконечное число раз. Любое из инвариантных подпространств, в которых действует неприводимое представление $D_l$, есть множество функций вида $f(r)\sum _{m=-l}^l{C}_m{Y}_{lm}(\theta ,\phi )$, где $f(r)\in L^2\left({\mathbf{R}}^{+}\right)$.