Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
\( \mathrm{B} \S 25 \) мы построили представление группы вращений в пространстве состояний \( \mathscr{H}=L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) операторами Операторы \( L_{ \pm}=L_{1} \pm i L_{2} \) в этих переменных имеют вид Общие собственные функции операторов \( L^{2} \) и \( L_{3} \) будем обозначать через \( Y_{l m}(\mathbf{n}) \) (число \( j \) для операторов \( L \) принято обозначать через \( l \) ). Уравнения \( L_{+} Y_{l l}=0 \) и \( L_{3} Y_{l l}=l Y_{l l} \) в сферических координатах имеют вид Решая это уравнение, получим Мы не будем проделывать соответствующих вычислений. Функции \( Y_{l m}(\mathbf{n}) \) называют нормированными сферическими функциями \( l \)-го порядка. Для них может быть получено выражение Итак, базис неприводимого представления в пространстве \( L^{2}\left(S^{2}\right) \) состоит из сферических функций \( Y_{l m}(\mathbf{n}) \) при фиксированном \( l \) и \( m=-l,-l+1, \ldots, l \). Пространство \( L^{2}\left(S^{2}\right) \) содержит подпространства неприводимых представлений всех нечетных размерностей \( 2 l+1 \) ( \( l \)— целое) по одному разу. Теорема o разложении представления группы вращений на неприводимые в данном случае эквивалентна утверждению о полноте сферических функций в \( L^{2}\left(S^{2}\right) \). Любая функция \( \psi(\mathrm{n}) \in L^{2}\left(S^{2}\right) \) может быть разложена в сходяцийся ряд Вспомним, что в пространстве \( \mathscr{D}_{2} \) действовали неприводимые представления как четных так и нечетных размерностей. Пространство \( \mathscr{D}_{2} \) можно представить в виде прямой суммы \( \mathscr{D}_{2}^{+} \oplus \mathscr{D}_{2}^{-} \), где \( \mathscr{D}_{2}^{+} \)и \( \mathscr{D}_{2}^{-} \)- ортогональные подпространства четных и нечетных функций соответственно. В \( \mathscr{D}_{2}^{+} \), как и в \( L^{2}\left(S^{2}\right) \), действуют представления только нечетных размерностей. Любой элемент \( f(z) \Subset \mathscr{D}_{2}^{+} \)может быть представлен в виде Ясно, что взаимно-однозначное соответствие В заключение этого параграфа рассмотрим представление группы вращений в пространстве состояний \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right)=L^{2}\left(S^{2}\right) \otimes \) \( \otimes L^{2}\left(\mathbf{R}^{+}\right) \). Пусть \( \left\{f_{n}(r)\right\} \) — произвольный базис в \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{+}\right) \). Тогда \( \left\{f_{n}(r) Y_{l m}(\mathbf{n})\right\} \) — базис в пространстве \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \), и любая функция \( \psi(\mathbf{x}) \in L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) может быть разложена в ряд Из этой формулы видно, что \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) также может быть разложено (причем многими способами) на подпространства, в которых действуют неприводимые представления группы вращений порядка \( (2 l+1) \), и каждое представление \( D_{l} \) встречается бесконечное число раз. Любое из инвариантных подпространств, в которых действует неприводимое представление \( D_{l} \), есть множество функций вида \( f(r) \sum_{m=-l}^{l} C_{m} Y_{l m}(\theta, \varphi) \), где \( f(r) \in L^{2}\left(\mathbf{R}^{+}\right) \).
|
1 |
Оглавление
|