\( \mathrm{B} \S 25 \) мы построили представление группы вращений в пространстве состояний \( \mathscr{H}=L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) операторами
\[
W(\mathbf{a})=\exp \left[-i\left(L_{1} a_{1}+L_{2} a_{2}+L_{3} a_{3}\right)\right]
\]
где \( L_{1}, L_{2}, L_{3} \) – операторы момента импульса. Напомним, что эти операторы действуют только на угловые переменные функции \( \psi(\mathbf{x}) \in L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \), поэтому пространство \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) удобно рассматривать как \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{+}\right) \otimes L^{2}\left(S^{2}\right) \). Здесь \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{+}\right) \)- пространство квадратично интегрируемых функций \( f(r) \) с весом \( r^{2} \) на \( \mathbf{R}^{+} \), a \( L^{2}\left(S^{2}\right) \) – пространство функций \( \psi(\mathbf{n})=\psi(\theta, \varphi) \), квадратично интегрируемых на единичной сфере. Скалярные произведения в этих пространствах вводятся формулами
\[
\left(f_{1}, f_{2}\right)=\int_{0}^{\infty} r^{2} f_{1}(r) \overline{f_{2}(r)} d r,\left(\psi_{1}, \psi_{2}\right)=\int_{S^{2}} \psi_{1}(\mathbf{n}) \psi_{2}(\mathbf{n}) d \mathbf{n},
\]
где \( d \mathbf{n}=\sin \theta d \theta d \varphi \)-элемент поверхности единичной сферы.
Несколько громоздкие вычисления приводят к следующему виду операторов момента импульса в сферических координатах:
\[
\begin{array}{c}
L_{1}=i\left(\sin \varphi \frac{\partial}{\partial \theta}+\operatorname{ctg} \theta \cos \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi}\right), \\
L_{2}=-i\left(\cos \varphi \frac{\partial}{\partial \theta}-\operatorname{ctg} \theta \sin \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi}\right), \\
L_{3}=-i \frac{\partial}{\partial \varphi} .
\end{array}
\]

Операторы \( L_{ \pm}=L_{1} \pm i L_{2} \) в этих переменных имеют вид
\[
L_{+}=e^{i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}+i \operatorname{ctg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right), L_{-}=e^{-i \varphi}\left(-\frac{\partial}{\partial \theta}+i \operatorname{ctg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) .
\]

Общие собственные функции операторов \( L^{2} \) и \( L_{3} \) будем обозначать через \( Y_{l m}(\mathbf{n}) \) (число \( j \) для операторов \( L \) принято обозначать через \( l \) ). Уравнения \( L_{+} Y_{l l}=0 \) и \( L_{3} Y_{l l}=l Y_{l l} \) в сферических координатах имеют вид
\[
\begin{array}{c}
-i \frac{\partial Y_{l l}}{\partial \varphi}=l Y_{l l}, \\
\frac{\partial Y_{l l}}{\partial \theta}+i \operatorname{ctg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi} Y_{l l}=0 .
\end{array}
\]
Из первого уравнения (1) видим, что
\[
Y_{l l}(\theta, \varphi)=e^{i l \varphi} F_{l l}(\theta),
\]
причем \( l \) может принимать только целые значения, \( l=0,1 \), \( 2, \ldots \) Второе уравнение (1) ћозволяет получить уравнение для \( F_{l l}(\theta) \)
\[
\frac{\partial F_{l l}(\theta)}{d \theta}-l \operatorname{ctg} \theta F_{l l}(\theta)=0 .
\]

Решая это уравнение, получим
\[
F_{l l}(\theta)=C \sin ^{l} \theta .
\]
Заметим, что для каждого \( l \) существует одно решение уравнения (2). Итак, мы нашли, что
\[
Y_{l l}(\theta, \varphi)=C \sin ^{t} \theta e^{i l \varphi},
\]
причем постоянная \( C \) может быть найдена из условия нормировки. Остальные функции \( Y_{l m}(\mathbf{n}) \) могут быть вычислены по формуле
\[
Y_{l, m-1}=-\frac{1}{\sqrt{(l+m)(l-m+1)}} e^{-i \varphi}\left(-\frac{\partial}{\partial \theta}+i \operatorname{ctg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) Y_{l m} .
\]

Мы не будем проделывать соответствующих вычислений. Функции \( Y_{l m}(\mathbf{n}) \) называют нормированными сферическими функциями \( l \)-го порядка. Для них может быть получено выражение
\[
Y_{l m}(\theta, \varphi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i m \varphi} P_{l}^{m}(\cos \theta),
\]
где функции
\[
P_{l}^{m}(\mu)=\sqrt{\frac{(l+m) !}{(l-m) !}} \sqrt{\frac{2 l+1}{2}} \frac{1}{2^{l} l !}\left(1-\mu^{2}\right)^{-\frac{m}{2}} \frac{d^{l-m}\left(\mu^{2}-1\right)^{l}}{d \mu^{l-m}}
\]
носят название нормированных присоединенных полиномов Лежандра.

Итак, базис неприводимого представления в пространстве \( L^{2}\left(S^{2}\right) \) состоит из сферических функций \( Y_{l m}(\mathbf{n}) \) при фиксированном \( l \) и \( m=-l,-l+1, \ldots, l \). Пространство \( L^{2}\left(S^{2}\right) \) содержит подпространства неприводимых представлений всех нечетных размерностей \( 2 l+1 \) ( \( l \)– целое) по одному разу. Теорема o разложении представления группы вращений на неприводимые в данном случае эквивалентна утверждению о полноте сферических функций в \( L^{2}\left(S^{2}\right) \). Любая функция \( \psi(\mathrm{n}) \in L^{2}\left(S^{2}\right) \) может быть разложена в сходяцийся ряд
\[
\psi(\mathbf{n})=\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{!} C_{l m} Y_{l m}(\mathbf{n}) .
\]

Вспомним, что в пространстве \( \mathscr{D}_{2} \) действовали неприводимые представления как четных так и нечетных размерностей. Пространство \( \mathscr{D}_{2} \) можно представить в виде прямой суммы \( \mathscr{D}_{2}^{+} \oplus \mathscr{D}_{2}^{-} \), где \( \mathscr{D}_{2}^{+} \)и \( \mathscr{D}_{2}^{-} \)- ортогональные подпространства четных и нечетных функций соответственно. В \( \mathscr{D}_{2}^{+} \), как и в \( L^{2}\left(S^{2}\right) \), действуют представления только нечетных размерностей. Любой элемент \( f(z) \Subset \mathscr{D}_{2}^{+} \)может быть представлен в виде
\[
f(z)=\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} C_{l m} \frac{\xi^{l-m} \eta^{l+m}}{\sqrt{(l-m) !(l+m) !}} .
\]

Ясно, что взаимно-однозначное соответствие
\[
f(z) \leftrightarrow \psi(\mathbf{n})
\]
устанавливает изоморфизм между пространствами \( \mathscr{D}_{2}^{+} \)и \( L^{2}\left(S^{2}\right) \), при котором
\[
\begin{array}{c}
\frac{\xi^{l-m} \eta^{l+m}}{\sqrt{(l-m) !(l+m) !}} \leftrightarrow Y_{l m}(\mathbf{n}), \\
M_{k} \leftrightarrow L_{k}, k=1,2,3 .
\end{array}
\]

В заключение этого параграфа рассмотрим представление группы вращений в пространстве состояний \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right)=L^{2}\left(S^{2}\right) \otimes \) \( \otimes L^{2}\left(\mathbf{R}^{+}\right) \). Пусть \( \left\{f_{n}(r)\right\} \) – произвольный базис в \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{+}\right) \). Тогда \( \left\{f_{n}(r) Y_{l m}(\mathbf{n})\right\} \) – базис в пространстве \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \), и любая функция \( \psi(\mathbf{x}) \in L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) может быть разложена в ряд
\[
\psi(\mathbf{x})=\sum_{n} \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} C_{n l m} f_{n}(r) Y_{l m}(\theta, \varphi) .
\]

Из этой формулы видно, что \( L^{2}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) также может быть разложено (причем многими способами) на подпространства, в которых действуют неприводимые представления группы вращений порядка \( (2 l+1) \), и каждое представление \( D_{l} \) встречается бесконечное число раз. Любое из инвариантных подпространств, в которых действует неприводимое представление \( D_{l} \), есть множество функций вида \( f(r) \sum_{m=-l}^{l} C_{m} Y_{l m}(\theta, \varphi) \), где \( f(r) \in L^{2}\left(\mathbf{R}^{+}\right) \).