В § 15-20 мы рассмотрим одномерные задачи квантовой механики. Функция Гамильтона для частицы с одной степенью свободы в потенциальном поле имеет вид
\[
H(p, q)=\frac{p^{2}}{2 m}+V(q) .
\]

Этой функции Гамильтона соответствует оператор Шредингера
\[
H=\frac{P^{2}}{2 m}+V(Q) \text {. }
\]
* Этот предел не всегда является тривиальным, так как в физически интересных случаях функция \( \psi(x) \) обычно зависит от \( h \) как от параметра (см. пример ниже).

Для свободной частицы \( V=0 \). Мы начнем с изучения этой простейшей задачи квантовой механики. Найдем спектр оператора Шредингера
\[
H=\frac{P^{2}}{2 m} .
\]

Уравнение для собственных векторов имеет вид
\[
\frac{P^{2}}{2 m} \psi=E \psi
\]

или в координатном представлении
\[
-\frac{h^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}=E \psi \text {. }
\]

Удобно использовать систему единиц, в которой \( h=1 \) и \( m= \) \( =1 / 2 \). Тогда уравнение (2) при \( E>0 \) принимает вид
\[
\psi^{\prime \prime}+k^{2} \psi=0, \quad k^{2}=E, \quad k>0 .
\]

Последнее уравнение имеет два линейно-независимых решения
\[
\psi_{ \pm k}(x)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{1}{2}} e^{ \pm i k x} .
\]

Мы видим, что каждому значению \( E>0 \) соответствует две собственных функции оператора \( H \). При \( E<0 \) уравнение (3) не имеет ограниченных на всей вещественной оси решений. Таким образом, спектр оператора Шредингера (1) – непрерывный, положительный, двукратнь:й.

Функции (5) одновременно являются и собственными функциями оператора импульса \( P=-i \frac{d}{d x} \), соответствующими соб. ственным значениям \( \pm k \). Заметим, что функции (5) не принадлежат \( L^{2}(R) \) и поэтому не являются собственными функциями в обычном смысле. Для записл последующих формул удобно считать, что \( -\infty<k<\infty, k= \pm \sqrt{E} \). Тогда оба решения (5) имеют вид
\[
\psi_{k}(x)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{1}{2}} e^{i k x} .
\]

Нормирующий множитель в (6) выбран из условия
\[
\int_{\mathbf{R}} \psi_{k}(x) \overline{\psi_{k^{\prime}}(x)} d x=\delta\left(k-k^{\prime}\right) .
\]

Столь же просто получаются решения уравнения (2) в импульсном представлении. При \( m=1 \) уравнение (2) имеет вид
\[
p^{2} \psi=k^{2} \psi
\]

а его решениями являются функции
\[
\boldsymbol{\psi}_{k}(p)=\delta(p-k), k= \pm \sqrt{E} .
\]

Нормировка функций (9) выбрана такой же, как и функций (6),
\[
\int_{\mathbf{R}} \psi_{k}(p) \overline{\psi_{k^{\prime}}(p)} d p=\int_{\mathbf{R}} \delta(p-k) \delta\left(p-k^{\prime}\right) d p=\delta\left(k-k^{\prime}\right) .
\]

Для того чтобы выяснить физический смысл собственных функций \( \psi_{k} \), построим решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы
\[
i \frac{d \psi(t)}{d t}=H \psi(t)
\]

при начальном условии
\[
\psi(0)=\varphi,\|\varphi\|=1 .
\]

Проще всего эта задача решается в импульсном представлении
\[
\begin{array}{c}
i \frac{\partial \psi(p, t)}{\partial t}=p^{2} \Psi(p, t), \\
\psi(p, 0)=\varphi(p), \int_{\mathrm{R}}|\varphi(p)|^{2} d p=1 .
\end{array}
\]

Очевидно, что
\[
\psi(p, t)=\varphi(p) e^{-i p^{2} t} .
\]

В координатном представлении это же состояние описывается функцией
\( \psi(x, t)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{1}{2}} \int_{\mathbf{R}} \varphi(p) e^{i\left(p x-p^{2} t\right)} d p=\int_{\mathbf{R}} \varphi(k) \psi_{k}(x) e^{-i k^{2} t} d k \).
Легко проверить, что нормировка функции \( \psi(x, t) \) не зависит от времени
\[
\int_{\mathbf{R}}|\psi(x, t)|^{2} d x=\int_{\mathbf{R}}|\varphi(p)|^{2} d p=1 .
\]

Формулу (10) можно рассматривать и как разложение решения уравнения Шредингера \( \psi(x, t) \) по стационарным состояниям, т. е. как обобщение формулы (9.13) на случай непрерывного спектра. Роль коэффициентов \( C_{n} \) здесь играет функция \( \varphi(k) \).

Состояние, описываемое функциями \( \psi(x, t) \) или \( \psi(p, t) \), имеет наиболее простой физический смысл в том случае, когда \( \varphi(p) \) отлична от нуля в некоторой малой окрестности точки \( p_{0} \). Состояния такого типа обычно называют волновыми пакетами. График функции \( |\varphi(p)|^{2} \) изображен на рис. 4.

Напомним, что \( |\psi(p, t)|^{2}=|\varphi(p)|^{2} \) есть плотность функции распределения импульса. Тот факт, что эта плотность не зависит от времени, есть следствие закона сохранения импульса для свободной частицы. Если распределение \( |\varphi(p)|^{2} \) сосредоточено

в окрестности точки \( p_{0} \), то состояние \( \psi(t) \) может быть истолковано как состояние с почти точно заданным импульсом.

Функция \( |\psi(x, t)|^{2} \) есть плотность функции распределения координаты. Проследим за ее эволюцией во времени. Прежде всего из теоремы Римана – Лебега * следует, что для гладкой \( \varphi(p) \quad \psi(x, t) \rightarrow 0 \) при \( |t| \rightarrow \infty \), поэтому стремится к нулю \( \int_{\Omega}|\psi(x, t)|^{2} d x \), взятый по любой конечной области вещественной оси \( \Omega \). Это значит, что при \( |t| \rightarrow \infty \) частица уходит из любой конечной области, т. е. движение инфинитно.

Для того чтобы более подробно проследить за движением частицы при больших \( |t| \), используем метод стационарной
Рис. 4. фазы. Этот метод применяется для асимптотического вычисления интегралов вида
\[
I(N)=\int_{a}^{b} F(x) e^{l N f(x)} d x
\]

при \( N \rightarrow \infty \). Для случая гладких функций \( f(x) \) и \( F(x) \) и при наличии одной точки стационарности \( \tilde{x} \) функции \( f(x) \) в интервале \( (a, b)\left(f^{\prime}(\tilde{x})=0, f^{\prime \prime}(\tilde{x})
eq 0\right) \) имеет место формула
\[
I(N)=\left(\frac{2 \pi}{N\left|f^{\prime \prime}(\tilde{x})\right|}\right)^{\frac{1}{2}} F(\tilde{x}) \exp \left(i N f(\tilde{x})+\frac{i \pi}{4} \operatorname{sign} f^{\prime \prime}(\tilde{x})\right)+O\left(\frac{1}{N}\right) .
\]

Перепишем выражение для \( \psi(x, t) \) в форме
\[
\psi(x, t)=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{1}{2}} \int_{\mathbf{R}} \varphi(p) e^{i|t|\left[\mp ! p^{2}+\frac{p x}{|t|}\right]} d p .
\]

Верхний знак в экспоненте соответствует \( t>0 \), нижний \( t<0 \), найдем асимптотику функции \( \psi(x, t) \) при \( t \rightarrow \pm \infty \) по формуле (12). Точка стационарности находится из условия
\[
f^{\prime}(\tilde{p})=\mp 2 \tilde{p}+\frac{x}{|t|}=0,
\]
– Теорема Римана – Лебега утверждает, что \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{i N x} d x \rightarrow 0 \) при \( N \rightarrow \infty \), если функция \( f(x) \) кусочно-непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси \( -\infty \leq x \leq \infty \).

откуда \( \tilde{p}=\frac{x}{2 t} \). Далее \( f^{\prime \prime}(\tilde{p})=\mp 2 \) и при \( t \rightarrow \pm \infty \)
\[
\psi(x, t)=\varphi\left(\frac{x}{2 t}\right)\left(\frac{1}{2|t|}\right)^{\frac{1}{2}} e^{i \chi(x, t)}+O\left(\frac{1}{|t|}\right),
\]

где \( \chi \)-вещественная функция, вид которой для дальнейшего неважен.

По предположению функция \( \varphi(p) \) отлична от нуля только в малой окрестности точки \( p_{0} \), поэтому \( |\psi(x, t)|^{2}=\left|\varphi\left(\frac{x}{2 t}\right)\right|^{2} \frac{1}{2|t|}+ \) \( +O\left(\frac{1}{|t|^{1 / 2}}\right) \) отлична от нуля только вблизи точки \( x=2 p_{0} t \). Из этого єоотношения видно, что область, в которой отлична от нуля вероятность найти частицу, перемещается вдоль оси \( x \) с постоянной скоростью \( v=2 p_{0} \), т. е. остается справедливой классическая связь между импульсом и скоростью \( p=m v \) (напомним, что мы положили \( m=1 / 2 \) ). Далее из асимптотического выражения для \( |\psi(x, t)|^{2} \) ясно, что для корня из дисперсии координаты \( \Delta_{\omega} x \) при больших значениях \( |t| \) справедлива формула
\[
\begin{aligned}
\Delta_{\omega} x \cong 2 \Delta_{\omega} p|t| \\
\Delta_{\omega} x \cong \Delta_{\omega} v|t| .
\end{aligned}
\]

или
Это означает, что область, в которой велика вероятность обнаружить частицу, передвигаясь вдоль оси \( x \), будет расплываться со скоростью \( \Delta_{\omega} v \).

Нетрудно понять без всяких вычислений, что поведение классической свободной частицы, находящейся в состоянии с ненулевыми дисперсиями координаты и импульса, будет точно таким же. Таким образом, квантовая механика приводит практически к тем же результатам для свободной частицы, что и классическая. Единственное отличие состоит в том, что в квантовой механике, согласно соотношению неопределенностей, нет состояний с нулевыми дисперсиями координаты и импульса.

Отметим еще некоторые формальные свойства решения уравнения Шредингера для свсбодной частицы. Из соотношения (13) следует, что
\[
\psi(x, t)=O\left(\frac{1}{|t|^{1 / 2}}\right),
\]
т. е. при любых \( x \) имеет место неравенство
\[
|\psi(x, t)|<\frac{C}{|t|^{1 / 2}},
\]

где \( C \) – некоторая константа. Естественно ожидать поэтому, что вектор \( \psi(t) \) слабо стремится к нулю при \( |t| \rightarrow \infty \). Проще всего это утверждение доказывается в импульсном представлении.

Для произвольного вектора \( f \in L^{2}(\mathbf{R}) \) имеем
\[
(\psi(t), f)=\int_{\mathbf{R}} \varphi(p) e^{-i p^{2} t} \overline{f(p)} d p .
\]

Последний интеграл стремится к нулю при \( |t| \rightarrow \infty \) по теореме Римана – Лебега.

В координатном же представлении слабая сходимость к нулю \( \psi(t) \) имеет очень простой смысл. Постоянный вектор \( f \) задается функцией, которая заметно отлична от нуля лишь в некоторой конечной области \( \Omega \), а область, в которой отлична от нуля функция \( \psi(x, t) \), расплызаясь, уходит на бесконечность. Поэтому \( (\psi(t), f) \rightarrow 0 \) при \( |t| \rightarrow \infty \).

Проверим, что асимптотическое выражение (13) для функции \( \psi(x, t) \) имеет правильную нормировку. При \( |t| \rightarrow \infty \) имеем
\[
\int_{\mathbf{R}}|\psi(x, t)|^{2} d x \cong \int_{\mathbf{R}} \frac{1}{2|t|}\left|\varphi\left(\frac{x}{2 t}\right)\right|^{2} d x=\int_{\mathbf{R}}|\varphi(k)|^{2} d k=1 .
\]