В этом параграфе мы покажем, как соотношения неопределенности, которые упоминались в § 4 , следуют из математического аппарата квантовой механики, и дадим их точную формулировку.
\( 2^{*} \)

Рассмотрим дисперсии двух наблюдаемых \( A \) и \( B \) в состоянии \( \omega \). Напомним, что дисперсия наблюдаемой определяется соотношением
\[
\Delta_{\omega}^{2} A=\left\langle\omega\left|\left(A-A_{\mathrm{cp}}\right)\right|^{2}\right\rangle=\left\langle\omega \mid A^{2}\right\rangle-\langle\omega \mid A\rangle^{2},
\]

где \( A_{\text {ср }}=\langle\omega \mid A\rangle \). Через \( \Delta_{\omega} A \) мы обозначаем \( \sqrt{\Delta_{\omega}^{2} A} \).
Соотношения неопределенности утверждают, что для любого состояния \( \omega \) справедливо неравенство
\[
\Delta_{\omega} A \Delta_{\omega} B \geqslant \frac{h}{2}\left|\left\langle\{A, B\}_{h} \mid \omega\right\rangle\right| .
\]

Соотношения неопределенности достаточно доказать для чистых состояний. Для смешанных состояний они будут следовать тогда из неравенства (2.17), которое справедливо и в квантовой механике, так как его вывод не зависит от реализации алгебры наблюдаемых.
Начнем с очевидного неравенства
\[
((A+i \alpha B) \psi,(A+i \alpha B) \psi) \geqslant 0,\|\psi\|=1, \quad \alpha \in R .
\]

Раскрывая левую часть, получим
\[
\left(A^{2} \psi, \psi\right)+\alpha^{2}\left(B^{2} \psi, \psi\right)-i \alpha((A B-B A) \psi, \psi) \geqslant 0 .
\]

Используя определение квантовой скобки Пуассона (5.15) и формулу для среднего значения наблюдаемой в чистом состоянии \( \omega \leftrightarrow P_{\psi} \) (6.5), перепишем последнее неравенство в виде
\[
\left\langle A^{2} \mid \omega\right\rangle+\alpha^{2}\left\langle B^{2} \mid \omega\right\rangle-\alpha h\left\langle\{A, B\}_{h} \mid \omega\right\rangle \geqslant 0
\]

при любом \( \alpha \in \mathbf{R} \) и, следовательно,
\[
\left\langle A^{2} \mid \omega\right\rangle\left\langle B^{2} \mid \omega\right\rangle \geqslant \frac{h^{2}}{4}\left\langle\{A, B\}_{h} \mid \omega\right\rangle^{2} .
\]

Соотношения неопределенности (1) непосредственно следуют из этого неравенства, если сделать замену \( A \rightarrow A-A_{\mathrm{cp}} \), \( B \rightarrow B-B_{\text {ср и учесть, что }}\{A, B\}_{h}=\left\{\left(A-A_{\mathrm{cp}}\right),\left(B-B_{\mathrm{cD}}\right)^{\prime}\right\}_{h} \).

Соотношения неопределенностти показывают, что дисперсии двух наблюдаемых могут обратиться в нуль одновременно только в том случае, когда среднее значение скобки Пуассона равно нулю. Для коммутирующих наблюдаемых \( \{A, B\}_{h}=0 \) и правая часть равна нулю для всех состояний. В этом случае соотношения неопределенности не накладывают никаких ограничений, и такие наблюдаемые являются одновременно измеримыми. В дальнейшем мы увидим, что действительно существует принципиально возможный способ одновременного измерения таких наблюдаемых. Наиболее сильные ограничения накладываются на пары наблюдаемых, для которых \( \left\langle\{A, B\}_{h} \mid \omega\right\rangle
eq 0 \) для всех \( \omega \), например, если \( \{A, B\}_{h}= \) const. В этом случае не существует состояний, в которых дисперсии

обеих наблюдаемых равны нулю. Мы увидим в дальнейшем, что для одноименных координаты и проекции импульса
\[
\{P, Q\}_{h}=I \text {, }
\]

где \( I \)-единичный оператор. Соотношения неопределенности для этих наблюдаемых принимают вид
\[
\Delta_{\omega} P \Delta_{\omega} Q \geqslant h / 2,
\]
т. е. в природе не существует состояний, в которых координата и одноименная проекция импульса имеют одновременно вполне определенные значения. Это утверждение справедливо как для смешанных, так и для чистых состояний, поэтому чистые состояния квантовой механики в отличие от чистых состояний классической механики не являются состояниями с нулевой дисперсией всех наблюдаемых.

Мы можем теперь вернуться к вопросу, поставленному в начале § 2: чем можно объяснить неоднозначность результатов экспериментов. Мы видели, что в классической механике такая неоднозначность связана только с условиями эксперимента. Если в условия эксперимента включить достаточное число предварительных измерений, то мы сможем быть уверены, что система находится в чистом состоянии и результаты любого эксперимента полностью детерминированы. В квантовой механике ответ на этот вопрос оказывается совершенно другим. Соотношения неопределенности показывают, что не существует даже принципиальной возможности поставить эксперимент так, чтобы результаты всех измерений были определены однозначно условиями эксперимента. Мы вынуждены, таким образом, считать, что вероятностный характер предсказаний в микромире связан с физическими свойствами квантовых систем.

Эти выводы кажутся настолько неожиданными, что интересным представляется вопрос о возможности введения в теорию так называемых «скрытых параметров». Можно предположить, что описание состояния системы при помощи матрицы плотности \( M=P_{\psi} \) не является полным, т. е. кроме \( P_{\psi} \) следовало бы задать значения каких-то параметров* \( x \) («скрытых параметров»); тогда описание станет достаточным для однозначного предсказания результатов любого измерения. Вероятностный же характер предсказаний в состоянии \( \omega \leftrightarrow P_{\psi} \) тогда можно объяснить тем, что нам неизвестны значения скрытых параметров и по ним существует какое-оо вероятностное распределение. Если обозначить состояния, задаваемые парой \( \left(P_{\psi}, x\right) \) через \( \omega_{x} \),
* «Скрытые параметры» \( x \) можно рассматривать как элементы некоторого множества \( X \). Относительно физической природы этих параметров мы не делаем никаких предположений, тақ как она безразлична для дальнейших рассуждений.

то наше предположение сводится к тому, что состояние \( \omega \) есть выпуклая комбинация состояний \( \omega_{x} \). Мы знаем, что \( P_{\psi} \) не раскладывается в выпуклую комбинацию операторов со свойствами матрицы плотности, т. е. состояниям \( \omega_{x} \) не соответствуют никакие операторы \( M \). Способ описания состояний в квантовой механике определяется выбором алгебры наблюдаемых. Предположение о том, что существуют состояния, которым не соответствуют никакие матрицы плотности, заставляет нас отказаться от утверждения, что наблюдаемые есть самосопряженные операторы, т. е. отказаться от основного предположения квантовой механики. Таким образом, мы видим, что введение скрытых параметров в квантовую механику невозможно без коренной перестройки ее основ.