Известно, что поведение макроскопических систем хорошо описывается классической механикой, и квантовая механика при переходе к макрообъектам должна приводить к тем же результатам. Критерием «квантовости» поведения системы может являться сравнительная величина характерных для системы численных значений наблюдаемых, имеющих размерность действия, и постоянной Планка $h=1,05\cdot {10}^{-27}$ эрг.с. Если постоянная Планка пренебрежимо мала по сравнению со значениями таких наблюдаемых, то система должна иметь классическое поведение. Формально переход от квантовой механики к классической может быть описан, как предельный переход при* $h\to 0$. Разумеется, при таком предельном переходе способы описания механических систем остаются различными (операторы в гильбертовом пространстве не могут превращаться в функции на фазовом пространстве), но физические результаты квантовой механики при $h\to 0$ должны совпадать с классическими.

Мы опять рассмотрим систему с одной степенью свободы. Изложение будет вестись по следующему плану.
* Здесь есть аналогия со связью между релятивистской и классической механиками. Релятивистскими эффектами можно пренебречь, если характерные для системы скорости $v$ много меньше скорости света $c$. Формально переход от релятивистской механики к классической можно рассматривать как предельный переход при $c\to \mathrm{\infty }$,

Сначала вещественным функциям на фазовом пространстве $f(p,q)$ мы сопоставим по некоторому правилу самосопряженные операторы $A_f,(f\to A_f)$.

Далее мы найдем формулу обращения, позволяющую по оператору $A_f$ восстановить функцию $f(p,q),(A_f\to f)$. Тем самым будет установлено взаимно-однозначное соответствие между вещественными функциями на фазовом пространстве и самосопряженными операторами в $\mathcal{H},(f⟶A_f)$. При этом справедливой оказывается формула
$$\mathrm{Tr}{A}_f={\int }_{O\mathcal{H}}f(p,q)\frac{dpdq}{2\pi h}.$$

Наконец, мы найдем, какие функции на фазовом пространстве соответствуют произведению $A_f\circ A_g$ и квантовой скобке Пуассона $\{A_f,A_g\}$. Мы увидим, что эти функции не совпадают с произведением $\mathrm{fg}$ и классической скобкой Пуассона $\{f,g\}$, но в пределе при $h\to 0$ стремятся к ним. Таким образом мы убедимся, что алгебра наблюдаемых квантовой механики неизоморфна алгебре наблюдаемых классической механики, но при $h\to 0$ взаимно-однозначное сојтветствие $f\leftrightarrow A_f$ становится изоморфизмом.

Пусть квантовая система с оператором Шредингера $H$ находится в состоянии $M$, и пусть $A_f$ — некоторая наблюдаемая для этой системы. Описанное взаимно-однозначное соответствие позволяет сопоставить операторам $H,M$ и $A_f$ функцию Гамильтона $H(p,q)$, функцию ${\rho }_1(p,q)$ и наблюдаемую $f(p,q)$. Введем $p(p,q)={\rho }_1(p,q)/2\pi h$. Из формулы (1) следует, что
$$\begin{array}{c}\mathrm{Tr}M={\int }_{\mathcal{K}}\rho (p,q)dpdq=1,\\ \mathrm{Tr}M{A}_f\underset{h\to 0}{\overset{⟶}{\to }}{\int }_{\mathcal{H}}f(p,q)\rho (p,q)dpdq.\end{array}$$

Формула (2) показывает, что функция $\rho (p,q)$ имеет правильную нормировку, а формула (3) утверждает, что в пределе при $h\to 0$ среднее значение наблюдаемой в квантовой механике совпадает со средним значением соответствующей классической наблюдаемой *. Далее пусть эволюция квантовой системы описывается картиной Гейзенберга и соответствие $A_f(t)\leftrightarrow f(t)$ установлено для пюизвольного момента времени $t$.
* Еще раз подчеркнем, что левая часть в (3) не совпадает с правой при $heq0$, так как произведению $M{A}_f$ соответствует функция, отличная от $f(p,q){\rho }_1(p,q)$. Кроме того, заметим, что функция $\rho (p,q)$ при $heq0$ может быть не положительной, т.е. не соответствовать классическому состоянию, но в пределе при $h\to 0$ из (3) следует, что $\rho (p,q)$ удовлетворяет всем требованиям к классической функции распределения.
3 Зак. 330

Покажем, что при $h\to 0$ классическая наблюдаемая $f(t)$ правильно зависит от времени. Оператор $A_f(t)$ удовлетворяет уравнению
$$\frac{d{A}_f(t)}{dt}={\{H,A_f(t)\}}_h.$$

Из линейности соответствия $f\leftrightarrow A_f$ следует, что $\frac{df}{dt}\leftrightarrow \frac{d{A}_f}{dt}$, кроме того, при $h\to 0{\{H,A_f\}}_h\leftrightarrow \{H,f\}$, поэтому при $h\to 0$ классическое уравнение
$$\frac{df}{dt}=\{H,f\}$$

является следствием квантового уравнения (4).
Перейдем к подробному изложению. Рассмотрим некоторую функцию $f(p,q)$ и обозначим через $\hat{f}(u,v)$ ее преобразование Фурье *:
$$\begin{array}{c}f(q,p)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{R^2}\hat{f}(u,v)e^{-iqv}{e}^{-ipu}dudv,\\ f(u,v)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{R^2}f(q,p)e^{iqv}{e}^{ipu}dqdp.\end{array}$$

Преобразование Фурье вещественной функции $f(p,q)$ обладает свойством
$$\overline{\hat{f}(u,v)}=\hat{f}(-u,-v).$$

Для построения оператора $A_f$, соответствующего функции $f(p,q)$, хотелось бы заменить переменные $q$ и $p$ в (5) на операторы $Q$ и $P$. Сразу, однако, неясно, в каком порядке следует писать некоммутирующие множители $V(v)$ и $U(u)$, перестановочные соотношения для которых имеют вид
$$U(u)V(v)=V(v)U(u)e^{ihuv}.$$

Естественный (но отнюдь не единственный) рецепт, обеспечивающий самосопряженность, был предложен $Г$. Вейлем и имеет вид
$$A_f=\frac{1}{2\pi }{\int }_{{\mathbf{R}}^2}\hat{f}(u,v)V(v)U(u)e^{\frac{\text{ thuv }}{2}}dudv.$$

Появление дополнительного множителя $e^{\frac{\text{ thuv }}{2}}$ связано с неком. мутативностью $V(v)$ и $U(u)$ и обеспечивает самосопряженность
* Мы опускаем те оговорки, которые следовало бы сделать, чтобы все дальнейшие преобразования стали вполне строгими.

оператора $A_f$. Действительно, используя (7) и (8), имеем*
$$\begin{array}{c}{A}_f^{\ast }=\frac{1}{2\pi }\int \overline{f}(u,v)U^{\ast }(u)V^{\ast }(v)e^{-\frac{ihuv}{2}}dudv=\\ =\frac{1}{2\pi }\int \hat{f}(-u,-v)U(-u)V(-v)e^{-\frac{ihuv}{2}}dudv=\\ =\frac{1}{2\pi }\int \hat{f}(u,v)U(u)V(v)e^{-\frac{ihuv}{2}}dudv=\\ =\frac{1}{2\pi }\int \hat{f}(u,v)V(v)U(u)e^{\frac{ihuv}{2}}dudv=A_f.\end{array}$$

В конце этого параграфа мы проверим, что по формуле (9) функциям $f(q)$ и $f(p)$ соответствуют операторы $f(Q)$ и $f(P)$ в полном согласии со сделанными прежде предположениями.

Найдем теперь формулу обращения. При вычислении следа оператора $K$ мы будем пользоваться формулой
$$\mathrm{Tr}K=\int K(x,x)dx$$

где $K(x,y)$-ядро оператора $K$. Найдем ядро оператора $V(v)U(u)$. Из формулы
$$V(v)U(u)\phi (x)=e^{-ivx}\phi (x-uh)$$

следует, что ядром интегрального оператора $V(v)U(u)$ является функция
$$V(v)U(u)(x,x^{\prime })=e^{-ivx}\delta (x-uh-x^{\prime }).$$

По формуле (10) имеем
$$\mathrm{Tr}V(v)U(u)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ivx}\delta (-uh)dx=\frac{2\pi }{h}\delta (v)\delta (u).$$

Проверим, что формула обращения имеет вид
$$\hat{f}(u,v)=h\mathrm{Tr}{A}_{f}V(-v)U(-u)e^{\frac{ihuv}{2}}.$$

Для этого сосчитаем правую часть равенства, используя и (11),
$$\begin{array}{c}\mathrm{Tr}{A}_{f}V(-v)U(-u)e^{\frac{i\hslash uv}{2}}=\\ =\frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}\int f(u^{\prime },v^{\prime })V\left(v^{\prime }\right)U\left(u^{\prime }\right)e^{\frac{i\hslash u^{\prime }{v}^{\prime }}{2}}V(-v)U(-u)e^{\frac{ihuv}{2}}d{u}^{\prime }d{v}^{\prime }=\end{array}$$
* В дальнейшем в написании интеграла по $n$-мерному пространству мы опускаем символ ${\mathbf{R}}^n$.

$$\begin{array}{c}=\frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}\int f(u^{\prime },v^{\prime })V\left(v^{\prime }\right)V(-v)U\left(u^{\prime }\right)U(-u)e^{\frac{ih}{2}(u^{\prime }{v}^{\prime }+uv-2u^{\prime }v)}d{u}^{\prime }d{v}^{\prime }=\\ =\frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}\int \widehat{u^{\prime }},v^{\prime })V(v^{\prime }-v)U(u^{\prime }-u)e^{\frac{ih}{2}(u^{\prime }{v}^{\prime }+uv-2u^{\prime }v)}d{u}^{\prime }d{v}^{\prime }=\\ =\frac{1}{h}\int \hat{f}(u^{\prime },v^{\prime })\delta (v^{\prime }-v)\delta (u^{\prime }-u)e^{\frac{ih}{2}(u^{\prime }{v}^{\prime }+uv-2u^{\prime }v)}d{u}^{\prime }d{v}^{\prime }=\\ =\frac{1}{h}f(u,v).\end{array}$$

Положим в формуле (12) $u=v=0$

С другой стороны,
$$\hat{f}(0,0)=h\mathrm{Tr}{A}_f\text{. }$$
$$\hat{f}(0,0)=\frac{1}{2\pi }\int f(p,q)dpdq$$

и мы убеждаемся в справедливости формулы (1).
Теперь нам осталось найти по формуле (12) функции на фазовом пространстве, соответствующие $A_f\circ A_g$ и ${\{A_f,A_g\}}_h$, и убедиться, что при $h\to 0$ эти функции стремятся к $fg$ и $\{f,g\}$. Сначала найдем функцию $F(p,q)$, соответствующую не симметризованному произведению $A_f{A}_g$. Для ее Фурье-образа имеем
$$\begin{array}{c}\hat{F}(u,v)=h\mathrm{Tr}{A}_f{A}_{g}V(-v)U(-u)e^{\frac{ihuv}{2}}=\\ =h\mathrm{Tr}{\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^2\int d{u}_{1}d{v}_{1}d{u}_{2}d{v}_2\hat{f}(u_1,v_1)\hat{g}(u_2,v_2)V\left(v_1\right)U\left(u_1\right)e^{\frac{ih{u}_1{v}_1}{2}}\times \\ \times V\left(v_2\right)U\left(u_2\right)e^{\frac{ih{u}_2{v}_2}{2}}V(-v)U(-u)e^{\frac{ihuv}{2}}=\\ =h\mathrm{Tr}{\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^2\int d{u}_{1}d{v}_{1}d{u}_{2}d{v}_2\hat{f}(u_1,v_1)\hat{g}(u_2,v_2)\times \\ \times V(v_1+v_2-v)U(u_1+u_2-u)\times \\ \times \exp \left[\frac{ih}{2}(u_1{v}_1+u_2{v}_2+uv+2u_1{v}_2-2u_{1}v-2u_{2}v)\right].\end{array}$$

Окончательно
$$\begin{array}{c}{A}_f{A}_g\leftrightarrow \frac{1}{2\pi }\int d{u}_{1}d{v}_{1}d{u}_{2}d{v}_{2}f(u_1,v_1)\hat{g}(u_2,v_2)\delta (v_1+v_2-v)\times \\ \times \delta (u_1+u_2-u)e^{\frac{ih}{2}(u_1{v}_2-u_2{v}_1)}.\end{array}$$

Показатель в экспоненте был преобразован с учетом стоящих под знаком интеграла $\delta$-функций. Напомним, что преобразование Фурье $\hat{\mathit{D}}(u,v)$ произведения двух функций $\mathrm{\Phi }(p,q)=$
$=f(p,q)g(p,q)$ есть свертка преобразований Фурье сомножителей
$$=\frac{1}{2\pi }\int d{u}_{1}d{v}_{1}d{u}_{2}d{v}_2\hat{f}(u_1,v_1)\hat{g}(u_2,v_2)\delta (v_1+v_2-v)\delta (u_1+u_2-u).$$

Функция $\hat{F}(u,v)$ отличается от функции $\hat{\mathrm{\Phi }}(u,v)$ множителем $e^{\frac{ih}{2}(u_1{v}_2-u_2{v}_1)}$, который стоит под знаком интеграла. Этот множитель зависит от порядка операторов $A_f$ и $A_g$, поэтому операторам $A_f{A}_g$ и $A_g{A}_f$ соответствуют разные функции на фазовом пространстве. В пределе при $h\to 0e^{\frac{ih}{2}(u_1{v}_2-u_2{v}_1)}\to 1$ и $F(p,q)\to \mathrm{\Phi }(p,q)$. Разумеется; это утверждение справедливо и для функции $F_s(p,q)$, соответствующей симметризованному произведению $A_f\circ A_g$.

Обозначим через $G(p,q)$ функцию, соответствующую квантовой скобке Пуассона
$${\{A_f,A_g\}}_h=\frac{i}{h}(A_f{A}_g-A_g{A}_f).$$

Из формулы (13) получаем
$$\begin{array}{c}\hat{G}(u,v)=\\ =\frac{1}{2\pi h}\int d{u}_{1}d{v}_{1}d{u}_{2}d{v}_2\widehat{(}(u_1,v_1)\hat{g}(u_2,v_2)\delta (v_1+v_2-v)\times \\ \times \delta (u_1+u_2-u)[e^{\frac{ih}{2}(u_1{v}_2-u_2{v}_1)}-e^{\frac{ih}{2}(u_2{v}_1-u_1{v}_2)}]=\\ =\frac{1}{\pi h}\int d{u}_{1}d{v}_{1}d{u}_{2}d{v}_2\hat{f}(u_1,v_1)\hat{g}(u_2,v_2)\delta (v_1+v_2-v)\times \\ \times \delta (u_1+u_2-u)\sin \frac{h}{2}(u_2{v}_1-u_1{v}_2)\end{array}$$

и при $h\to 0$
$$\begin{array}{c}\hat{G}(u,v)\to \frac{1}{2\pi }\int d{u}_{1}d{v}_{1}d{u}_{2}d{v}_2(u_2{v}_1-u_1{v}_2)\hat{f}(u_1,v_1)\hat{g}(u_2,v_2)\times \\ \times \delta (v_1+v_2-v)\delta (u_1+u_2-u).\end{array}$$

Интеграл, стоящий в правой части, является преобразованием Фурье от классической скобки Пуассона
$$\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p},$$

так как преобразованиями Фурье производных $\frac{\partial f}{\partial q}$ и $\frac{\partial f}{\partial p}$ являются функции — ivf и -iuf соответственно.

Таким образом, мы проверили все утверждения, сделанные в начале параграфа.

В заключение приведем несколько примеров вычислений по формулам этого параграфа.

Найдем формулу для ядра оператора $A_f$ в координатном представлении. Используя формулу
$$V(v)U(u)(x,x^{\prime })=e^{-ivx}\delta (x-uh-x^{\prime }),$$

получим
$$\begin{array}{c}{A}_f(x,x^{\prime })=\frac{1}{2\pi }\int \hat{f}(u,v)e^{-ivx}\delta (x-uh-x^{\prime })e^{\frac{ihuv}{2}}dudv,\\ A_f(x,x^{\prime })=\frac{1}{2\pi h}\int \hat{f}(\frac{x-x^{\prime }}{h},v)e^{-\frac{iv}{2}(x+x^{\prime })}dv.\end{array}$$

Покажем, что $f(q)\leftrightarrow f(Q)$. Для такой функции на фазовом пространстве
$$\hat{f}(u,v)=\frac{1}{2\pi }\int f(q)e^{ivq}{e}^{iup}dqdp=\tilde{f}(v)\delta (u).$$

Здесь через $f(v)$ обозначено преобразование Фурье функции одной переменной $f(q)$. Далее по формуле (14)
$$\begin{array}{c}{A}_f(x,x^{\prime })=\frac{1}{2\pi h}\int \delta \left(\frac{x-x^{\prime }}{h}\right)\tilde{f}(v)e^{-\frac{iv}{2}(x+x^{\prime })}dv=\\ =f\left(\frac{x+x^{\prime }}{2}\right)\delta (x-x^{\prime })=f(x)\delta (x-x^{\prime }),\end{array}$$

а оператор с таким ядром является оператором умножения на функцию $f(x)$. Точно так же в импульсном представлении легко проверить, что $f(p)\leftrightarrow f(P)$.

Получим явную формулу, по которой можно найти классическое состояние, соответствующее пределу чистого квантового состояния при $h\to 0$.

Используя формулу обращения, найдем ${\rho }_1(q,p)$, соответствующую оператору $P_{\psi }$, и построим $\rho (q,p)={\rho }_1/(2\pi h)$. Вектор $\psi$ считаем заданным в координатном представлении. Из формулы
$$V(-v)U(-u)P_{\psi }\xi (x)=e^{ivx}\int \xi \left(x^{\prime }\right)\overline{\psi \left(x^{\prime }\right)}d{x}^{\prime }\psi (x+uh)$$

следует, что
$$\begin{array}{c}V(-v)U(-u)P_{\psi }(x,x^{\prime })=e^{ivx}\psi (x+uh)\overline{\psi \left(x^{\prime }\right)},\\ \hat{\rho }(u,v)=\frac{1}{2\pi h}h\mathrm{Tr}V(-v)U(-u)P_{\psi }{e}^{\frac{ihuv}{2}}=\\ =\frac{1}{2\pi }\int e^{ivx}\psi (x+uh)\overline{\psi (x)}{e}^{\frac{ihuv}{2}}dx.\end{array}$$

Если ввести функцию *
$$\begin{array}{c}F(x,u)=\frac{1}{2\pi }\underset{h\to 0}{lim}\psi (x+uh)\overline{\psi (x)},\\ \hat{\mathit{\rho }}(u,v)=\int e^{ivx}F(x,u)dx\end{array}$$

то
есть Фурье-образ классической функции распределения, соответствующей пределу состояния $P_{\psi }$ при $h\to 0$. Для самой функции распределения $\rho (q,p)$ справедлива формула
$$\rho (q,p)=\int e^{-ipu}F(q,u)du.$$

Пусть $\psi (x)$ — непрерывная функция и не зависит от $h$ как от параметра. Тогда

и
$$\begin{array}{c}F(x,u)=\frac{1}{2\pi }|\psi (x){|}^2\\ \rho (p,q)=|\psi (q){|}^2\delta (p).\end{array}$$

Такому квантовому состоянию в пределе $h\to 0$ соответствует состояние покоящейся частицы с плотностью функции распределения координаты $|\psi (q){|}^2$.

Пусть $\psi (x)=\phi (x)e^{\frac{i{p}_{0}x}{\hslash }}$, где $\phi (x)$ от $h$ не зависит и непрерывна. В этом случае в пределе при $h\to 0$ мы придем к классическому состоянию с функцией распределения
$$\rho (p,q)=|\phi (q){|}^2\delta (p-p_0).$$

На этих примерах мы видим, что чистому состоянию квантовой механики в пределе при $h\to 0$ может соответствовать смешанное классическое состояние.