Известно, что поведение макроскопических систем хорошо описывается классической механикой, и квантовая механика при переходе к макрообъектам должна приводить к тем же результатам. Критерием «квантовости» поведения системы может являться сравнительная величина характерных для системы численных значений наблюдаемых, имеющих размерность действия, и постоянной Планка \( h=1,05 \cdot 10^{-27} \) эрг.с. Если постоянная Планка пренебрежимо мала по сравнению со значениями таких наблюдаемых, то система должна иметь классическое поведение. Формально переход от квантовой механики к классической может быть описан, как предельный переход при* \( h \rightarrow 0 \). Разумеется, при таком предельном переходе способы описания механических систем остаются различными (операторы в гильбертовом пространстве не могут превращаться в функции на фазовом пространстве), но физические результаты квантовой механики при \( h \rightarrow 0 \) должны совпадать с классическими.

Мы опять рассмотрим систему с одной степенью свободы. Изложение будет вестись по следующему плану.
* Здесь есть аналогия со связью между релятивистской и классической механиками. Релятивистскими эффектами можно пренебречь, если характерные для системы скорости \( v \) много меньше скорости света \( c \). Формально переход от релятивистской механики к классической можно рассматривать как предельный переход при \( c \rightarrow \infty \),

Сначала вещественным функциям на фазовом пространстве \( f(p, q) \) мы сопоставим по некоторому правилу самосопряженные операторы \( A_{f},\left(f \rightarrow A_{f}\right) \).

Далее мы найдем формулу обращения, позволяющую по оператору \( A_{f} \) восстановить функцию \( f(p, q),\left(A_{f} \rightarrow f\right) \). Тем самым будет установлено взаимно-однозначное соответствие между вещественными функциями на фазовом пространстве и самосопряженными операторами в \( \mathscr{H},\left(f \longrightarrow A_{f}\right) \). При этом справедливой оказывается формула
\[
\operatorname{Tr} A_{f}=\int_{O \mathscr{H}} f(p, q) \frac{d p d q}{2 \pi h} .
\]

Наконец, мы найдем, какие функции на фазовом пространстве соответствуют произведению \( A_{f} \circ A_{g} \) и квантовой скобке Пуассона \( \left\{A_{f}, A_{g}\right\} \). Мы увидим, что эти функции не совпадают с произведением \( \mathrm{fg} \) и классической скобкой Пуассона \( \{f, g\} \), но в пределе при \( h \rightarrow 0 \) стремятся к ним. Таким образом мы убедимся, что алгебра наблюдаемых квантовой механики неизоморфна алгебре наблюдаемых классической механики, но при \( h \rightarrow 0 \) взаимно-однозначное сојтветствие \( f \leftrightarrow A_{f} \) становится изоморфизмом.

Пусть квантовая система с оператором Шредингера \( H \) находится в состоянии \( M \), и пусть \( A_{f} \) — некоторая наблюдаемая для этой системы. Описанное взаимно-однозначное соответствие позволяет сопоставить операторам \( H, M \) и \( A_{f} \) функцию Гамильтона \( H(p, q) \), функцию \( \rho_{1}(p, q) \) и наблюдаемую \( f(p, q) \). Введем \( p(p, q)=\rho_{1}(p, q) / 2 \pi h \). Из формулы (1) следует, что
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Tr} M=\int_{\mathscr{K}} \rho(p, q) d p d q=1, \\
\operatorname{Tr} M A_{f} \xrightarrow[h \rightarrow 0]{\longrightarrow} \int_{\mathscr{H}} f(p, q) \rho(p, q) d p d q .
\end{array}
\]

Формула (2) показывает, что функция \( \rho(p, q) \) имеет правильную нормировку, а формула (3) утверждает, что в пределе при \( h \rightarrow 0 \) среднее значение наблюдаемой в квантовой механике совпадает со средним значением соответствующей классической наблюдаемой *. Далее пусть эволюция квантовой системы описывается картиной Гейзенберга и соответствие \( A_{f}(t) \leftrightarrow f(t) \) установлено для пюизвольного момента времени \( t \).
* Еще раз подчеркнем, что левая часть в (3) не совпадает с правой при \( h
eq 0 \), так как произведению \( M A_{f} \) соответствует функция, отличная от \( f(p, q) \rho_{1}(p, q) \). Кроме того, заметим, что функция \( \rho(p, q) \) при \( h
eq 0 \) может быть не положительной, т.е. не соответствовать классическому состоянию, но в пределе при \( h \rightarrow 0 \) из (3) следует, что \( \rho(p, q) \) удовлетворяет всем требованиям к классической функции распределения.
3 Зак. 330

Покажем, что при \( h \rightarrow 0 \) классическая наблюдаемая \( f(t) \) правильно зависит от времени. Оператор \( A_{f}(t) \) удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d A_{f}(t)}{d t}=\left\{H, A_{f}(t)\right\}_{h} .
\]

Из линейности соответствия \( f \leftrightarrow A_{f} \) следует, что \( \frac{d f}{d t} \leftrightarrow \frac{d A_{f}}{d t} \), кроме того, при \( h \rightarrow 0 \quad\left\{H, A_{f}\right\}_{h} \leftrightarrow\{H, f\} \), поэтому при \( h \rightarrow 0 \) классическое уравнение
\[
\frac{d f}{d t}=\{H, f\}
\]

является следствием квантового уравнения (4).
Перейдем к подробному изложению. Рассмотрим некоторую функцию \( f(p, q) \) и обозначим через \( \hat{f}(u, v) \) ее преобразование Фурье *:
\[
\begin{array}{c}
f(q, p)=\frac{1}{2 \pi} \int_{R^{2}} \hat{f}(u, v) e^{-i q v} e^{-i p u} d u d v, \\
f(u, v)=\frac{1}{2 \pi} \int_{R^{2}} f(q, p) e^{i q v} e^{i p u} d q d p .
\end{array}
\]

Преобразование Фурье вещественной функции \( f(p, q) \) обладает свойством
\[
\overline{\hat{f}(u, v)}=\hat{f}(-u,-v) .
\]

Для построения оператора \( A_{f} \), соответствующего функции \( f(p, q) \), хотелось бы заменить переменные \( q \) и \( p \) в (5) на операторы \( Q \) и \( P \). Сразу, однако, неясно, в каком порядке следует писать некоммутирующие множители \( V(v) \) и \( U(u) \), перестановочные соотношения для которых имеют вид
\[
U(u) V(v)=V(v) U(u) e^{i h u v} .
\]

Естественный (но отнюдь не единственный) рецепт, обеспечивающий самосопряженность, был предложен \( Г \). Вейлем и имеет вид
\[
A_{f}=\frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbf{R}^{2}} \hat{f}(u, v) V(v) U(u) e^{\frac{\text { thuv }}{2}} d u d v .
\]

Появление дополнительного множителя \( e^{\frac{\text { thuv }}{2}} \) связано с неком. мутативностью \( V(v) \) и \( U(u) \) и обеспечивает самосопряженность
* Мы опускаем те оговорки, которые следовало бы сделать, чтобы все дальнейшие преобразования стали вполне строгими.

оператора \( A_{f} \). Действительно, используя (7) и (8), имеем*
\[
\begin{array}{c}
A_{f}^{*}=\frac{1}{2 \pi} \int \bar{f}(u, v) U^{*}(u) V^{*}(v) e^{-\frac{i h u v}{2}} d u d v= \\
=\frac{1}{2 \pi} \int \hat{f}(-u,-v) U(-u) V(-v) e^{-\frac{i h u v}{2}} d u d v= \\
=\frac{1}{2 \pi} \int \hat{f}(u, v) U(u) V(v) e^{-\frac{i h u v}{2}} d u d v= \\
=\frac{1}{2 \pi} \int \hat{f}(u, v) V(v) U(u) e^{\frac{i h u v}{2}} d u d v=A_{f} .
\end{array}
\]

В конце этого параграфа мы проверим, что по формуле (9) функциям \( f(q) \) и \( f(p) \) соответствуют операторы \( f(Q) \) и \( f(P) \) в полном согласии со сделанными прежде предположениями.

Найдем теперь формулу обращения. При вычислении следа оператора \( K \) мы будем пользоваться формулой
\[
\operatorname{Tr} K=\int K(x, x) d x
\]

где \( K(x, y) \)-ядро оператора \( K \). Найдем ядро оператора \( V(v) U(u) \). Из формулы
\[
V(v) U(u) \varphi(x)=e^{-i v x} \varphi(x-u h)
\]

следует, что ядром интегрального оператора \( V(v) U(u) \) является функция
\[
V(v) U(u)\left(x, x^{\prime}\right)=e^{-i v x} \delta\left(x-u h-x^{\prime}\right) .
\]

По формуле (10) имеем
\[
\operatorname{Tr} V(v) U(u)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i v x} \delta(-u h) d x=\frac{2 \pi}{h} \delta(v) \delta(u) .
\]

Проверим, что формула обращения имеет вид
\[
\hat{f}(u, v)=h \operatorname{Tr} A_{f} V(-v) U(-u) e^{\frac{i h u v}{2}} .
\]

Для этого сосчитаем правую часть равенства, используя и (11),
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Tr} A_{f} V(-v) U(-u) e^{\frac{i \hbar u v}{2}}= \\
=\frac{1}{2 \pi} \operatorname{Tr} \int f\left(u^{\prime}, v^{\prime}\right) V\left(v^{\prime}\right) U\left(u^{\prime}\right) e^{\frac{i \hbar u^{\prime} v^{\prime}}{2}} V(-v) U(-u) e^{\frac{i h u v}{2}} d u^{\prime} d v^{\prime}=
\end{array}
\]
* В дальнейшем в написании интеграла по \( n \)-мерному пространству мы опускаем символ \( \mathbf{R}^{n} \).

\[
\begin{array}{c}
=\frac{1}{2 \pi} \operatorname{Tr} \int f\left(u^{\prime}, v^{\prime}\right) V\left(v^{\prime}\right) V(-v) U\left(u^{\prime}\right) U(-u) e^{\frac{i h}{2}\left(u^{\prime} v^{\prime}+u v-2 u^{\prime} v\right)} d u^{\prime} d v^{\prime}= \\
\left.=\frac{1}{2 \pi} \operatorname{Tr} \int \hat{u^{\prime}}, v^{\prime}\right) V\left(v^{\prime}-v\right) U\left(u^{\prime}-u\right) e^{\frac{i h}{2}\left(u^{\prime} v^{\prime}+u v-2 u^{\prime} v\right)} d u^{\prime} d v^{\prime}= \\
=\frac{1}{h} \int \hat{f}\left(u^{\prime}, v^{\prime}\right) \delta\left(v^{\prime}-v\right) \delta\left(u^{\prime}-u\right) e^{\frac{i h}{2}\left(u^{\prime} v^{\prime}+u v-2 u^{\prime} v\right)} d u^{\prime} d v^{\prime}= \\
=\frac{1}{h} f(u, v) .
\end{array}
\]

Положим в формуле (12) \( u=v=0 \)

С другой стороны,
\[
\hat{f}(0,0)=h \operatorname{Tr} A_{f} \text {. }
\]
\[
\hat{f}(0,0)=\frac{1}{2 \pi} \int f(p, q) d p d q
\]

и мы убеждаемся в справедливости формулы (1).
Теперь нам осталось найти по формуле (12) функции на фазовом пространстве, соответствующие \( A_{f} \circ A_{g} \) и \( \left\{A_{f}, A_{g}\right\}_{h} \), и убедиться, что при \( h \rightarrow 0 \) эти функции стремятся к \( f g \) и \( \{f, g\} \). Сначала найдем функцию \( F(p, q) \), соответствующую не симметризованному произведению \( A_{f} A_{g} \). Для ее Фурье-образа имеем
\[
\begin{array}{c}
\hat{F}(u, v)=h \operatorname{Tr} A_{f} A_{g} V(-v) U(-u) e^{\frac{i h u v}{2}}= \\
=h \operatorname{Tr}\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{2} \int d u_{1} d v_{1} d u_{2} d v_{2} \hat{f}\left(u_{1}, v_{1}\right) \hat{g}\left(u_{2}, v_{2}\right) V\left(v_{1}\right) U\left(u_{1}\right) e^{\frac{i h u_{1} v_{1}}{2}} \times \\
\times V\left(v_{2}\right) U\left(u_{2}\right) e^{\frac{i h u_{2} v_{2}}{2}} V(-v) U(-u) e^{\frac{i h u v}{2}}= \\
=h \operatorname{Tr}\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{2} \int d u_{1} d v_{1} d u_{2} d v_{2} \hat{f}\left(u_{1}, v_{1}\right) \hat{g}\left(u_{2}, v_{2}\right) \times \\
\times V\left(v_{1}+v_{2}-v\right) U\left(u_{1}+u_{2}-u\right) \times \\
\times \exp \left[\frac{i h}{2}\left(u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}+u v+2 u_{1} v_{2}-2 u_{1} v-2 u_{2} v\right)\right] .
\end{array}
\]

Окончательно
\[
\begin{array}{c}
A_{f} A_{g} \leftrightarrow \frac{1}{2 \pi} \int d u_{1} d v_{1} d u_{2} d v_{2} f\left(u_{1}, v_{1}\right) \hat{g}\left(u_{2}, v_{2}\right) \delta\left(v_{1}+v_{2}-v\right) \times \\
\times \delta\left(u_{1}+u_{2}-u\right) e^{\frac{i h}{2}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)} .
\end{array}
\]

Показатель в экспоненте был преобразован с учетом стоящих под знаком интеграла \( \delta \)-функций. Напомним, что преобразование Фурье \( \hat{\boldsymbol{D}}(u, v) \) произведения двух функций \( \Phi(p, q)= \)
\( =f(p, q) g(p, q) \) есть свертка преобразований Фурье сомножителей
\[
=\frac{1}{2 \pi} \int d u_{1} d v_{1} d u_{2} d v_{2} \hat{f}\left(u_{1}, v_{1}\right) \hat{g}\left(u_{2}, v_{2}\right) \delta\left(v_{1}+v_{2}-v\right) \delta\left(u_{1}+u_{2}-u\right) .
\]

Функция \( \hat{F}(u, v) \) отличается от функции \( \widehat{\Phi}(u, v) \) множителем \( e^{\frac{i h}{2}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)} \), который стоит под знаком интеграла. Этот множитель зависит от порядка операторов \( A_{f} \) и \( A_{g} \), поэтому операторам \( A_{f} A_{g} \) и \( A_{g} A_{f} \) соответствуют разные функции на фазовом пространстве. В пределе при \( h \rightarrow 0 \quad e^{\frac{i h}{2}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)} \rightarrow 1 \) и \( F(p, q) \rightarrow \Phi(p, q) \). Разумеется; это утверждение справедливо и для функции \( F_{s}(p, q) \), соответствующей симметризованному произведению \( A_{f} \circ A_{g} \).

Обозначим через \( G(p, q) \) функцию, соответствующую квантовой скобке Пуассона
\[
\left\{A_{f}, A_{g}\right\}_{h}=\frac{i}{h}\left(A_{f} A_{g}-A_{g} A_{f}\right) .
\]

Из формулы (13) получаем
\[
\begin{array}{c}
\hat{G}(u, v)= \\
=\frac{1}{2 \pi h} \int d u_{1} d v_{1} d u_{2} d v_{2} \hat{(}\left(u_{1}, v_{1}\right) \hat{g}\left(u_{2}, v_{2}\right) \delta\left(v_{1}+v_{2}-v\right) \times \\
\times \delta\left(u_{1}+u_{2}-u\right)\left[e^{\frac{i h}{2}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)}-e^{\frac{i h}{2}\left(u_{2} v_{1}-u_{1} v_{2}\right)}\right]= \\
=\frac{1}{\pi h} \int d u_{1} d v_{1} d u_{2} d v_{2} \hat{f}\left(u_{1}, v_{1}\right) \hat{g}\left(u_{2}, v_{2}\right) \delta\left(v_{1}+v_{2}-v\right) \times \\
\times \delta\left(u_{1}+u_{2}-u\right) \sin \frac{h}{2}\left(u_{2} v_{1}-u_{1} v_{2}\right)
\end{array}
\]

и при \( h \rightarrow 0 \)
\[
\begin{array}{c}
\hat{G}(u, v) \rightarrow \frac{1}{2 \pi} \int d u_{1} d v_{1} d u_{2} d v_{2}\left(u_{2} v_{1}-u_{1} v_{2}\right) \hat{f}\left(u_{1}, v_{1}\right) \hat{g}\left(u_{2}, v_{2}\right) \times \\
\times \delta\left(v_{1}+v_{2}-v\right) \delta\left(u_{1}+u_{2}-u\right) .
\end{array}
\]

Интеграл, стоящий в правой части, является преобразованием Фурье от классической скобки Пуассона
\[
\{f, g\}=\frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial g}{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p},
\]

так как преобразованиями Фурье производных \( \frac{\partial f}{\partial q} \) и \( \frac{\partial f}{\partial p} \) являются функции — ivf и -iuf соответственно.

Таким образом, мы проверили все утверждения, сделанные в начале параграфа.

В заключение приведем несколько примеров вычислений по формулам этого параграфа.

Найдем формулу для ядра оператора \( A_{f} \) в координатном представлении. Используя формулу
\[
V(v) U(u)\left(x, x^{\prime}\right)=e^{-i v x} \delta\left(x-u h-x^{\prime}\right),
\]

получим
\[
\begin{array}{c}
A_{f}\left(x, x^{\prime}\right)=\frac{1}{2 \pi} \int \hat{f}(u, v) e^{-i v x} \delta\left(x-u h-x^{\prime}\right) e^{\frac{i h u v}{2}} d u d v, \\
A_{f}\left(x, x^{\prime}\right)=\frac{1}{2 \pi h} \int \hat{f}\left(\frac{x-x^{\prime}}{h}, v\right) e^{-\frac{i v}{2}\left(x+x^{\prime}\right)} d v .
\end{array}
\]

Покажем, что \( f(q) \leftrightarrow f(Q) \). Для такой функции на фазовом пространстве
\[
\hat{f}(u, v)=\frac{1}{2 \pi} \int f(q) e^{i v q} e^{i u p} d q d p=\tilde{f}(v) \delta(u) .
\]

Здесь через \( f(v) \) обозначено преобразование Фурье функции одной переменной \( f(q) \). Далее по формуле (14)
\[
\begin{array}{c}
A_{f}\left(x, x^{\prime}\right)=\frac{1}{2 \pi h} \int \delta\left(\frac{x-x^{\prime}}{h}\right) \tilde{f}(v) e^{-\frac{i v}{2}\left(x+x^{\prime}\right)} d v= \\
=f\left(\frac{x+x^{\prime}}{2}\right) \delta\left(x-x^{\prime}\right)=f(x) \delta\left(x-x^{\prime}\right),
\end{array}
\]

а оператор с таким ядром является оператором умножения на функцию \( f(x) \). Точно так же в импульсном представлении легко проверить, что \( f(p) \leftrightarrow f(P) \).

Получим явную формулу, по которой можно найти классическое состояние, соответствующее пределу чистого квантового состояния при \( h \rightarrow 0 \).

Используя формулу обращения, найдем \( \rho_{1}(q, p) \), соответствующую оператору \( P_{\psi} \), и построим \( \rho(q, p)=\rho_{1} /(2 \pi h) \). Вектор \( \psi \) считаем заданным в координатном представлении. Из формулы
\[
V(-v) U(-u) P_{\psi} \xi(x)=e^{i v x} \int \xi\left(x^{\prime}\right) \overline{\psi\left(x^{\prime}\right)} d x^{\prime} \psi(x+u h)
\]

следует, что
\[
\begin{array}{c}
V(-v) U(-u) P_{\psi}\left(x, x^{\prime}\right)=e^{i v x} \psi(x+u h) \overline{\psi\left(x^{\prime}\right)}, \\
\hat{\rho}(u, v)=\frac{1}{2 \pi h} h \operatorname{Tr} V(-v) U(-u) P_{\psi} e^{\frac{i h u v}{2}}= \\
=\frac{1}{2 \pi} \int e^{i v x} \psi(x+u h) \overline{\psi(x)} e^{\frac{i h u v}{2}} d x .
\end{array}
\]

Если ввести функцию *
\[
\begin{array}{c}
F(x, u)=\frac{1}{2 \pi} \lim _{h \rightarrow 0} \psi(x+u h) \overline{\psi(x)}, \\
\hat{\boldsymbol{\rho}}(u, v)=\int e^{i v x} F(x, u) d x
\end{array}
\]

то
есть Фурье-образ классической функции распределения, соответствующей пределу состояния \( P_{\psi} \) при \( h \rightarrow 0 \). Для самой функции распределения \( \rho(q, p) \) справедлива формула
\[
\rho(q, p)=\int e^{-i p u} F(q, u) d u .
\]

Пусть \( \psi(x) \) — непрерывная функция и не зависит от \( h \) как от параметра. Тогда

и
\[
\begin{array}{c}
F(x, u)=\frac{1}{2 \pi}|\psi(x)|^{2} \\
\rho(p, q)=|\psi(q)|^{2} \delta(p) .
\end{array}
\]

Такому квантовому состоянию в пределе \( h \rightarrow 0 \) соответствует состояние покоящейся частицы с плотностью функции распределения координаты \( |\psi(q)|^{2} \).

Пусть \( \psi(x)=\varphi(x) e^{\frac{i p_{0} x}{\hbar}} \), где \( \varphi(x) \) от \( h \) не зависит и непрерывна. В этом случае в пределе при \( h \rightarrow 0 \) мы придем к классическому состоянию с функцией распределения
\[
\rho(p, q)=|\varphi(q)|^{2} \delta\left(p-p_{0}\right) .
\]

На этих примерах мы видим, что чистому состоянию квантовой механики в пределе при \( h \rightarrow 0 \) может соответствовать смешанное классическое состояние.