§ 16. Правило квантования круговых орбит
Условие для стационарных орбит Бор получил, исходя из постулата Планка, согласно которому осуществляются только такие состояния гармонического осциллятора, энергия которых равна
(16.1)
Обозначим координату осциллятора буквой q, а импульс — буквой 
, Полная энергия осциллятора определяется выражением
Отсюда
Координатную плоскость 
называют фазовой плоскостью, а кривую на этой плоскости, определяющую для данного движения 
как функцию 
— фазовой траекторией. Из (16.2) следует, что фазовая траектория гармонического осциллятора представляет собой эллипс (рис. 16.1). Полуоси эллипса равны
Площадь эллипса равна произведению полуосей, умноженному на 
Вместе с тем площадь можно представить в виде
(при интегрировании совершается обход по всему эллипсу; см. рис. 16.1).
Из сравнения выражений (16.3) и (16.4) вытекает правило квантования;
Полученное для гармонического осциллятора правило (16.5) Бор распространил и на другие механические системы. В случае осциллятора 
Для других систем под q понимают обобщенную координату, а под 
— обобщенный импульс.
Для электрона, движущегося вокруг ядра по круговой орбите, естественно взять в качестве обобщенной координаты азимутальный угол 
(рис. 16.2). Обобщенной скоростью в этом случае будет 
Рис. 16.1.
Рис. 16.2.
Мы знаем, что при вращательном движений роль линейной скорости переходит к угловой скорости 
а роль массы — к моменту инерции 
(
— масса электрона). Соответственно обобщенный импульс равен гпегу 
Последнее выражение определяет момент обычного импульса М, взятый относительно ядра. Таким образом, для электрона, движущегося по круговой орбите, условие (16.5) имеет вид
Сила, с которой ядро действует на электрон, является центральной. Поэтому М = const и левая часть соотношения (16.6) равна 
. Следовательно, мы приходим к условию
Итак, согласно условию Бора из всех орбит электрона, возможных с точки зрения классической механики, осуществляются только те, для которых момент импульса равен целому кратному постоянной Планка 
