§ 47. Колебания систем с большим числом степеней свободы

Чтобы разобраться в теории Дебая, нужно знать решение задачи о малых колебаниях системы с большим числом степеней свободы. В настоящем параграфе мы рассмотрим результаты решения этой задачи, не касаясь способов ее решения.

Положение системы с s степенями свободы может быть задано с помощью s величин которые называются обобщенными координатами системы. Роль обобщенных координат могут выполнять длины, углы, площади и т. д. Обобщенные координаты одной и той же системы можно выбирать различными способами. Можно показать, что такая система имеет s собственных частот (а — номер собственной частоты, пробегающий значения 1, 2, ..., s). При произвольном выборе обобщенных координат общее решение уравнений движения имеет вид

Следовательно, каждая из функций представляет собой, вообще говоря, суперпозицию s гармонических колебаний с частотами

Энергия системы определяется выражением

где первая сумма дает кинетическую, а вторая — потенциальную энергию системы; — размерные коэффициенты. Таким образом, в выражение для энергии входят, вообще говоря, не только квадраты обобщенных координат , - или обобщенных скоростей но и произведения координат или скоростей, соответствующих различным степеням свободы системы.

Оказывается, можно выбрать обобщенные координаты системы так, что изменение каждой из них будет представлять собой простое гармоническое колебание, совершающееся с одной из собственных частот Обозначив эти координаты посредством можно написать:

Обобщенные координаты совершают независимо друг от друга гармоническое колебание, каждая со своей частотой Выбранные так обобщенные координаты называются нормальными (или главными), а совершаемые ими гармонические колебания — нормальными колебаниями системы.

Заметим, что изменения во времени произвольно выбранных обобщенных координат могут быть представлены в виде суперпозиции нормальных колебаний :

Выражение для энергии в нормальных координатах имеет вид

Следовательно, энергия системы равна сумме энергий, приходящихся на каждое из нормальных колебаний в отдельности.

Рис. 47.1.

В качестве примера рассмотрим систему из двух одинаковых связанных невесомой пружиной математических маятников (рис. 47.1). Предположим, что маятники могут совершать колебания только в плоскости чертежа, так что система имеет две степени свободы. Положение системы может быть задано углами отклонения обоих маятников от вертикального положения, либо углом отклонения одного из маятников и длиной пружины и т. д. Решение уравнений движения дает для углов отклонения маятников от положения равновесия выражения:

Здесь — постоянные, определяемые из начальных условий, — собственные частоты системы, равные:

( — масса, l — длина маятников, к — жесткость пружины, — расстояние от точки подвеса до точки крепления пружины).

Легко сообразить, что колебания можно представить в виде

где

Эти две функции представляют собой нормальные колебания данной системы. Если маятники отвести в одну и ту же сторону на одинаковый угол и отпустить без толчка, то будет совершаться только первое нормальное колебание причем (рис. 47.1,а). Если отвести маятники на одинаковый угол в противоположные стороны то будет совершаться только второе нормальное колебание причем (рис. 47.1, б). В первом случае маятники колеблются с частотой во втором — с частотой большей чем При иных начальных условиях будут одновременно совершаться оба нормальных колебания.

Рис. 47.2.

В качестве второго примера рассмотрим систему из трех одинаковых шариков, соединенных невесомыми одинаковыми пружинами (рис. 47.2). Концы пружин Л и В закреплены неподвижно. Предполагается, что шарики могут перемещаться только в плоскости чертежа в направлениях, перпендикулярных к линии АВ. При этих условиях система обладает тремя степенями свободы. Нормальные колебания показаны на рис. 47.2. В случае а все шарики движутся в одинаковой фазе; в случае б шарики 1 и 3 колеблются в противофазе, шарик 2 неподвижен; в случае в шарики 1 и 3 колеблются в одинаковой фазе, а шарик 2 по отношению к ним движется в противофазе.