§ 26. Прохождение частиц через потенциальный барьер

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты и ширины (рис. 26.1). По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера , частица беспрепятственно проходит над барьером (на участке лишь уменьшается скорость частицы, но затем при снова принимает первоначальное значение) Если же Е меньше (как изображено на рисунке), то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механике. Во-первых, даже при имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при Е имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.

Рассмотрим случай . В этом случае уравнение (21.5) имеет вид

для областей I и III и

для области II, причем

Будем искать решение уравнения (26.1) в виде (см. § 52 1-го тома). Подстановка этой функции в (26.1) приводит к характеристическому уравнению:

Рис. 26.1.

Отсюда , где

Таким образом, общее решение уравнения (26.1) имеет вид

Решив подстановкой уравнение (26.2), получим общее решение этого уравнения в виде

(26.5)

Здесь

Заметим, что решение тзида соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси а решение вида — волне, распространяющейся в противоположном направлении. Чтобы это понять, вспомним, что обычная (звуковая, электромагнитная и т. п.) плоская волна, распространяющаяся в направлении возрастания описывается вещественной частью выражения а волна, распространяющаяся в направлении убывания — вещественной частью выражения Частице, движущейся в положительном направлении оси сопоставляется функция (см. формулу (21.6)). Если отбросить в этой функции временной множитель, то для получится выражение Для частицы, движущейся в противоположном направлении, получится

В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент в выражении (26.4) для следует положить равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся условиями, которым должна удовлетворять функция Для того чтобы была непрерывна во всей области изменений х от до должны выполняться условия: Для того чтобы была гладкой, т. е. не имела изломов, должны выполняться условия: Из этих условий вытекают соотношения:

Разделим все уравнения на и введем обозначения:

а также

Тогда уравнения (26.7) примут вид

(269)

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны

определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения.

Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волны

определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности).

Нас будет интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся нахождением величины D. Правда, найдя D, легко найти R, поскольку эти коэффициенты связаны очевидным соотношением:

Умножим первое из уравнений (26.9) на i и сложим с третьим. В результате получим:

(26.11)

Теперь умножим второе из уравнений (26.9) на i и вычтем его из четвертого. Получим:

(26.12)

Решив совместно уравнения (26.11) и (26.12), найдем, что

Наконец, подставив найденные нами значения во второе из уравнений (26.9), получим выражение для :

Величина

обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаменателе выражения для слагаемым, содержащим множитель можно пренебречь по сравнению со слагаемым, содержащим множитель (комплексные числа и имеют одинаковый модуль). Итак, можно положить

Согласно (26.10) квадрат модуля этой величины дает вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Учтя, что получим:

где

(см. формулу (26.8)).

Выражение имеет величину порядка единицы. Поэтому можно считать, что

(26.13)

Из полученного нами выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера l и от его превышения над Е, т. е. от . Если при какой-то ширине барьера коэффициент прохождения D равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет равным , т. е. уменьшается в 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины . Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы .

Соответствующий расчет дает, что в случае потенциального барьера произвольной фермы (рис. 26.2) формула (26,13) должна быть заменена более общей формулой:

(26.14)

где

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см. заштрихованную область на рис. 26.2), в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом.

Рис. 26.2.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находящаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле ). Однако туннельный эффект — явление специфически квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой же механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией Т, был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс . Аналогично тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию 0, означал бы, что частица находится в точно заданном месте пространства. Поскольку координата и импульс частицы не могут одновременно иметь определенных значений, не могут быть одновременно точно определены Т и U. Таким образом, хотя полная энергия частицы Е имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Т и V. Ясно, что в этом случае заключение об отрицательности Т «внутри» туннеля становится беспочвенным.