§ 5. Стоячие волны в пространстве трех измерений

При нахождении функции , а также при вычислении теплоемкости твердых тел (см. § 48), возникает необходимость в подсчете числа стоячих волн, которые могут возбуждаться в объеме конечных размеров. В данном параграфе мы рассматриваем этот вопрос.

Пусть вдоль оси х бегут во встречных направлениях две плоские волны, возникающие в результате отражения от стенок, расположенных в точках (рис. 5.1). Уравнения волн имеют вид

(за счет выбора начала отсчета времени начальная фаза первой волны сделана равной нулю). Мы знаем, что в этом случае в области возникает стоячая волна, причем в зависимости от реальных условий на границах области бывают либо узлы, либо пучности. Так, например, на концах струны наблюдаются узлы, а на концах закрепленного в середине стержня — пучности.

Рис. 5.1.

Из уравнений (5.1) видно, что для того, чтобы на границе возникала пучность, фаза а должна быть равна нулю (тогда в точках с колебания будут происходить в одинаковой фазе). В этом случае при отражении от границы фаза волны не изменяется. Это следует из того, что в непосредственной близости к стенке (при ) фазы колебаний и совпадают. Для того же, чтобы на. границе возникал узел, фаза а должна быть равна я (тогда в точках с колебания будут происходить в противофазе). В этом случае при отражении от границы фаза волны претерпевает скачок на я.

Итак, в случае, когда на границах области наблюдаются пучности, уравнения (5.1) имеют вид

В случае, когда на границах области наблюдаются узлы, уравнения (5.1) выглядят следующим образом:

Сложение колебаний и в случае пучностей на границах приводит к уравнению

и в случае узлов на границах к уравнению

Легко убедиться в том, что при амплитуда максимальна в первом случае и равна нулю — во втором.

Для того чтобы и на другой границе (т. е. при ) наблюдалась пучность (в случае, описываемом уравнением (5.2)) либо узел (в случае, описываемом уравнением (5.3)), необходимо, чтобы произведение было целым кратным : Таким образом, независимо от того, что наблюдается на границах области (пучности или узлы), модуль волнового вектора должен иметь значения

Пусть Разность дает число стоячих волн к, модули волновых векторов которых лежат в интервале Приняв во внимание значения k и получим, что

Значения образуют дискретную последовательность. Заменив эту последовательность непрерывной функцией, можно написать

Модуль волнового вектора связан с частотой и и скоростью v соотношением

Соответственно

(мы считаем, что дисперсии нет, т. е. ). Заменив в (5.6), через придем к формуле

где — число стоячих волн, частоты которых лежат в интервале от со до

Рис. 5.2.

Теперь обратимся к двумерному случаю. Пусть в пределах прямоугольной области со сторонами а и b возбуждена плоская Еолна (1), бегущая в направлении волнового вектора (рис. 5.2,а). В результате отражения от правой границы области возникнет бегущая волна (2) с волновым вектором Отражение волны (2) от верхней границы (рис. 5.2, б) приведет к возникновению волны (3) с волновым вектором Наконец, отражение волны (3) от левой границы (рис. 5.2, е) приведет к возникновению волны (4) с волновым вектором . Никаких больше волн не возникнет. В самом деле, отражение волны (1) от верхней границы даст волну (4), отражение волны (2) от левой границы даст волну (1), отражение волны (3) от нижней границы даст волну (2), и, наконец, отражение волны (4) от нижней и правой границ области даст соответственно волны (1) и (3).

Итак, рассматриваемая двумерная область будет заполнена четырьмя плоскими волнами, бегущими в направлениях волновых векторов Если проекции вектора на оси х и у (см. рис. 5.2) обозначить через то проекции всех четырех векторов будут равны (номер вектора указан в скобках)

Выше мы выяснили, что пучности на границах получаются, если при отражении от стенки фаза волны не изменяется. В этом случае уравнения бегущих волн имеют вид

Сложив попарно эти уравнения, получим

Сумма найденных выражений дает уравнение, описывающее двумерную стоячую волну, получающуюся в том случае, Когда отражение от границы происходит без скачка фазы бегущей волны:

Из уравнения (5.10) следует, что в точке (0, 0) амплитуда максимальна. Для того чтобы она была максимальна также и в точках (т. е. в остальных трех вершинах прямоугольника), необходимо выполнение условий

Отметим, что из-за присутствия в формуле (5.10) множителя амплитуда достигает максимального значения не по всей длине сторон лишь на концах этих сторон (где также в промежуточных точках (в этих точках принимает значения я, ). В промежутках между этими точками амплитуда изменяется по закону косинуса. Аналогично амплитуда достигает максимума не по всей длине сторон а лишь на концах этих сторон, а также в промежуточных точках.

Узлы на границах получаются, если при отражении от стенки фаза волны претерпевает скачок на я. Каждую из волн (2), (3), (4) можно рассматривать как результат отражения от стенки предыдущей волны (см. рис. 5.2). Соответственно уравнения волн нужно писать в виде

Фаза колебания допускает прибавление к ней или вычитание из нее целого числа На этом основании видоизменим уравнения (5.12) следующим образом:

Сложив попарно эти уравнения, получим

Изменим в выражении (5.14) знаки обоих косинусов на обратные, добавив к аргументу первого косинуса и вычтя из аргумента второго косинуса я (при этом само выражение останется прежним по величине). В результате сумма примет вид

Сложив эту сумму с выражением (5.13), получим уравнение стоячей волны, наблюдающейся в том случае, когда при отражении от границы фаза бегущей волны претерпевает скачок

Отметим, что добавляя (или вычитая) я к аргументам двух из трех сомножителей, уравнению стоячей волны можно придать вид:

или

Из уравнения (5.15) следует, что во всех точках границы и границы амплитуда равна нулю. Для того чтобы она была равна нулю также и в точках границ , необходимо выполнение условий (5.11).

Таким образом, независимо от того, что получается на границах области (пучности в углах и некоторых промежуточных точках или по всей границе узлы), проекции волнового вектора должны иметь значения

(ср. с (5.4)).

Отметим, что модуль волнового вектора всех четырех бегущих волн, наложение которых приводит к возникновению стоячей волны, одинаков и равен

Величину (5.17) мы будем называть модулем волнового вектора стоячей волны.

Возьмем на -плоскости систему координат с осями Волновым векторам, отвечающим четырем бегущим волнам, образующим данную стоячую волну, соответствуют на -плоскости четыре симметричные точки, указанные на рисунке.

Рис. 5.3.

Рис. 5.4.

Все эти точки отвечают одной и той же стоячей волне. Поэтому при подсчете по точкам числа стоячих волн нужно принимать во внимание только точки, расположенные в одном из квадрантов -плоскости. Естественно рассматривать точки, расположенные в первом квадранте.

Согласно формуле (5.16) точки, соответствующие всевозможным стоячим волнам, располагаются в вершинах прямоугольников со сторонами (рис. 5.4). Легко сообразить, что на долю каждой стоячей волны приходится на -плоскости площадь, равная — площадь двумерной области, в пределах которой устанавливается стоячая волна). Следовательно, плотность точек на -плоскости равна

Найдем число стоячих волн , у которых проекции волновых векторов заключены в пределах от до и от до Это число равно плотности точек, умноженной на площадь

(5.18)

Теперь определим число стоячих волн , у которых модуль волнового вектора лежит в пределах от до Это число равно количеству точек, попадающих в область, заключенную между четвертьокружностями радиусов (рис. 5.5).

Площадь этой области равна Умножив плотность точек на площадь области, получим

Приняв во внимание формулы (5.7) и (5.8), можно написать, что

где число стоячих волн, частоты которых лежат в пределах от ( (ср. с (5.9)).

Рис. 5.5.

Рис.

Полученные результаты легко обобщить на трехмерный случай. Стоячая волна, возникающая в пределах прямоугольной области с параллельными координатным осям сторонами а, b и с (рис. 5.6), образуется наложением восьми бегущих волн, проекции волновых векторов которых равны

Рекомендуем написать уравнения этих волн и, произведя вычисления, убедиться в том, что уравнение стоячей волны имеет вид

в случае, когда отражение волны от стенок полости происходит без изменения фазы, и

в случае, когда при отражении фаза волны претерпевает скачок на (ср. с (5.10) и (5.15)).

Отметим, что в выражении (5.22) можно изменять на обратный знак при одновременно в двух любых множителях, не изменяя при этом значения

Из уравнений (5.21) и (5 22) следует, что для того, чтобы амплитуда стоячей волны имела одинаковое значение во всех восьми вершинах области, в которой возбуждена стоячая волна, необходимо выполнение условий

Согласно уравнению (5.22) амплитуда равна нулю всюду на границе области. В случае же, описываемом уравнением (5.21), максимальная амплитуда получается в вершинах области, а также в отдельных точках на ограничивающих область плоскостях.

В пространстве с осями каждой стоячей волне отвечает точка в первом октанте (рис. 5.7). На долю каждой точки приходится объем (V — объем области).

Следовательно, плотность точек равна

Число стоячих волн, у которых проекции волновых векторов заключены в пределах от до от до и от до определяется выражением

Число стоячих волн, у которых модуль волнового вектора лежит в пределах от k до k + dk, равно количеству точек, попадающих в пределы 1/8 шарового слоя радиуса k и толщины (см. рис. 5.7). Следовательно,

Приняв во внимание формулы (5.7) и (5.8), получим число стоячих волн, частоты которых попадают в интервал от до

Рис. 5.7.

Выражение (5.26) пропорционально объему полости V. Поэтому можно говорить о числе стоячих волн приходящихся на единицу объема полости. Это число равно

В дальнейшем мы внесем в это выражение уточнение, вызванное необходимостью учесть возможные виды поляризации волн.