§ 54. Динамика электронов в кристаллической решетке

Волновое число k связано с импульсом электрона равенством .

Заменив в соотношении неопределенности импульс через волновое число, получим соотношение неопределенности для k и х:

Из этого соотношения следует, что при точно определенном k положение электрона в кристалле будет совершенно неопределенным. Для того чтобы можно было изучать динамику электрона в кристалле, необходимо располагать выражениями для его скорости и ускорения. О скорости же можно говорить лишь в том случае, если электрон будет хотя бы приближенно локализован в пространстве.

Положим отличным от нуля. Тогда электрон будет локализован в пределах области Согласно принципу суперпозиции (см. § 25) пси-функция электрона может быть представлена в виде суммы плоских волн вида , значения волновых чисел которых заключены в пределах Если невелико, суперпозиция плоских волн образует волновой пакет. Максимум амплитуды результирующей волны перемещается с групповой скоростью

(см. формулу (143.14) 2-го тома). Наиболее вероятное местонахождение электрона совпадает с центром группы волн. Следовательно, представляет собой скорость электрона в кристалле.

Воспользовавшись соотношением заменим в (54.2) частоту через энергию. В результате получим, что

Выясним, как будет себя вести электрон под действием наложенного на кристалл внешнего электрического поля . В этом случае, кроме сил создаваемых полем решетки, на электрон будет действовать сила F, модуль которой равен За время эта сила совершает над электроном работу Подстановка выражения (54.3) для дает

Эта работа идет на приращение энергии электрона в кристалле: . Заменив в (54.4) на и приняв во внимание, что придем к соотношению

Отсюда вытекает, что

Продифференцировав выражение (54.3) - по t, найдем ускорение электрона в кристалле:

Приняв во внимание (54.5), получим

Напишем зту формулу следующим образом:

Из (54.6) вытекает, что ускорение электрона в кристалле пропорционально внешней силе Этот результат является нетривиальным, поскольку ускорение должно быть пропорциональным сумме сил и , и только лишь своеобразие силы приводит к тому, что при пропорциональности ускорения сумме сил имеет место также его пропорциональность слагаемому

Сопоставляя (54.6) с уравнением второго закона Ньютона

приходим к выводу, что выражение

формально играет по отношению к внешней силе роль массы, в связи с чем величину (54.7), называют эффективной массой электрона в кристалле.

Эффективная масса может сильно отличаться от фактической массы электрона , в частности она может принимать отрицательные значения. Это обусловлено тем обстоятельством, что в действительности уравнение второго закона Ньютона имеет вид

(54.8)

где — сила, обусловленная действием на электрон поля решетки. Сопоставление (54.8) с уравнением

наглядно показывает, что может существенно отличаться от . Несмотря на это, именно значение определяет характер движения электрона в решетке под действием силы .

Введение эффективной массы позволяет, абстрагируясь от взаимодействия электронов с решеткой, определять характер движения электрона под действием внешнего поля. Приписав электрону массу , мы можем исследовать поведение электрона под действием силы считая его свободным. Из сказанного вытекает, что соотношения, полученные в приближении свободных электронов, оказываются справедливыми для электрона, движущегося в периодическом поле, если в них заменить истинную массу эффективной массой

В частности, выражение (51.3) в случае периодического поля имеет вид

Действительно, двукратное дифференцирование по k дает

что согласуется с определением (см. (54.7)).

Итак, воздействие решетки на движение электрона можно учесть, заменив в уравнении движения, зключающем только внешнюю силу истинную массу эффективной массой .

Рис. 54.1.

Исследуем зависимость эффективной массы от «местоположения» электрона внутри разрешенной энергетической зоны. Вблизи дна зоны (см. точки А и А' на рис. 54.1) ход кривой мало отличается от хода кривой для свободных электронов (см. рис. 53.3). Соответственно .

В точке перегиба (точка В на рис. 54.1) равно нулю. Следовательно, обращается в бесконечность. Это означает, что внешнее поле не может изменить скорость электрона, находящегося в состоянии с энергией .

Вблизи потолка разрешенной зоны (точка С на рис. 54.1) производная с ростом k уменьшается). В соответствии с этим эффективная масса электронов, занимающих уровни вблизи потолка зоны, оказывается отрицательной. Фактически это означает, что под совместным действием сил электрон, находящийся в состоянии с энергией получает ускорение, противоположное по направлению внешней силе .