§ 6. Формула Рэлея — Джинса

Рэлей и Джинс сделали попытку определить равновесную плотность излучения и , исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная двум половинкам одна половинка на электрическую, вторая — на магнитную энергию волны (напомним, что по классическим представлениям на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем энергия, равная двум половинкам ).

Равновесное излучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Без учета возможных видов поляризации количество стоячих волн, отнесенное к единице объема полости, определяется формулой (5.27), в которой скорость v нужно положить равной с. Вдоль заданного направления могут распространяться две электромагнитные волны одинаковой частоты, отличающиеся направлением поляризации (поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях). Чтобы учесть это обстоятельство, нужно выражение (5.27) умножить на два. В результате получим

Как мы уже отмечали, Рэлей и Джинс, исходя из закона равнораспределения энергии по степеням свободы, приписали каждому колебанию энергию , равную Умножив (6.1) на получим плотность энергии, приходящуюся на интервал частот

Отсюда

Перейдя от по формуле (3.4), получим выражение для испускательной способности абсолютно черного тела:

Отметим, что функция (6.3) удовлетворяет полученному Вином условию (4.3).

Выражения (6.2) и (6.3) называются формулой Рэлея — Джинса. Эта формула удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах" волн и резко расходится с опытом для малых длин волн ,(см. рис. 6.1, на котором сплошной линией изображена экспериментальная кривая, пунктиром — кривая, построенная по формуле Рэлея — Джинса).

Рис. 6.1.

Интегрирование выражения (6.2) по в пределах от 0 до дает для равновесной плотности энергии бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастроф также находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливается при конечных значениях