§ 30. Ширина спектральных линий

Из возбужденного состояния атом может перейти спонтанно (самопроизвольно) в более низкое энергетическое состояние. Время , за которое число атомов, находящихся в данном возбужденном состоянии, уменьшается в раз, называется временем жизни возбужденного состояния. Время жизни возбужденных состояний атомов имеет порядок . Время жизни метастабильных состояний может достигать десятых долей секунды.

Возможность спонтанных переходов указывает на то, что возбужденные состояния нельзя рассматривать как строго стационарные. В соответствии с этим энергия возбужденного состояния не является точно определенной, и возбужденный энергетический уровень имеет конечную ширину Г (рис. 30.1).

Рис. 30.1.

Рис. 30.2.

Со гласно формуле (20.3) неопределенность энергии Г связана с временем жизни состояния соотношением .

Следовательно, ширина уровня определяется выражением

(для определенности мы написали знак равенства).

Основное состояние атома стационарно (из него невозможен спонтанный переход в другие состояния). Поэтому энергия основного состояния является определенной вполне точно.

Вследствие конечной ширины возбужденных уровней энергия испускаемых атомами фотонов имеет разброс, описываемый кривой, изображенной на рис. 30.1. Соответственно спектральная линия (рис. 30.2) обладает конечной шириной:

Взяв , получим для значение порядка

Интервал частот связан с интервалом длин волн соотношением

(знак минус мы опустили). Подставив получим для значение порядка .

Выражения (30.2) и (30.3) определяют так называемую естественную ширину спектральной линии. Естественная ширина характеризуется значениями

Тепловое движение излучающих атомов приводит к так называемому доплеровскому расширению спектральных линий. Пусть в момент испускания фотона атом обладает импульсом и соответственно энергией поступательного движения (та — масса атома). Фотон уносит с собой импульс равный по модулю Поэтому импульс атома изменяется и становится равным Следовательно, изменяется и энергия поступательного движения атома. Атом получает энергию отдачи, равную

Заменим k через . Кроме того, учтем, что есть скорость атома до излучения.

В результате выражение (30.5) примет вид

где — угол между векторами и к, т. е. угол между направлением движения атома и направлением, в котором испускается фотон.

Обозначим через убыль внутренней энергии атома, т. е. разность где — значения энергии уровней, между которыми совершается переход. На основании закона сохранения энергии должно равняться сумме энергии фотона и энергии отдачи, приобретаемой атомом при излучении:

Если бы атомы при излучении не испытывали отдачи, они испускали бы фотоны частоты Значение этой частоты получается из условия

Отметим, что в предыдущих параграфах под со подразумевалась

Энергия отдачи составляет для видимого света примерно от энергии испускаемого фотона. Для -квантов с энергия отдачи в раз меньше энергии фотона. Поэтому в формуле (30.6) можно заменить о через Скорость положим равной средней скорости v теплового движения молекул. В результате получим, что

Среднее значение этого выражения равно первому слагаемому а принимает с равной вероятностью все значения от —1 до +1, вследствие чего второе слагаемое в среднем равно нулю).

Итак, обозначив среднюю энергию отдачи, приобретаемую атомом при испускании фотона, буквой R, можно написать:

С учетом (30.10) выражение (30.9) можно представить в виде

(30.11)

Из формул (30.7) и (30.8) вытекает, что

Подставив сюда выражение (30.11) для и разделив получившееся соотношение на h, придем к формуле

Введем обозначения:

(30.14)

Воспользовавшись этими обозначениями, представим формулу (30.12) в виде

(30.15)

В источнике излучения, в котором все направления теплового движения атомов равновероятны, частоты излучаемых фотонов будут заключены в пределах интервала Следовательно, выражение (30.14) дает доплеровскую ширину спектральной линии. Из (30.14) вытекает, что относительное доплеровское уширение линий не зависит от частоты и равно с формулой (151.7) 2-го тома, приняв во внимание, что в этой формуле соответствует половине

Согласно (30.3) . Средняя скорость атомов (с относительной атомной массой ) при температуре порядка нескольких тысяч кельвин составляет приблизительно . В этих условиях доплеровская ширина спектральной линии для будет равна

Действительная ширина спектральной линии слагается из естественной ширины (30.2) и доплеровской ширины (30.14):

Середина линии приходится на частоту (см. (30.15)). Величина представляет собой ту частоту, которую имел бы фотон при условии, что энергия полностью пощла на излучение. Получение атомом при излучении энергии отдачи R приводит к смещению спектральной линии в сторону меньших частот (т. е. больших длин волн) на величину , определяемую формулой (30.13). Из этой формулы следует, что относительное смещение частоты оказывается пропорциональным частоте .

Оценим для видимого света Массу атома положим равной (атомная масса порядка 100). По формуле (30.13)

откуда для получается значение порядка , которым вполне можно пренебречь.

Заметим, что при поглощении атомом фотона импульс фотона сообщается атому, вследствие чего атом приходит в поступательное движение. Средняя дополнительная энергия, получаемая атомом при поглощении фотона, совпадает со средним значением энергии отдачи R. Следовательно, для того чтобы вызвать в атоме переход , фотон должен обладать энергией

а частота фотона должна быть равна где определяется формулой (30.13).

Итак, спектральная линия, середина которой лежит в спектре испускания данного атома при частоте в спектре поглощения того же атома будет иметь частоту Для видимого света смещение линий испускания и поглощения друг относительно друга (составляющее ) на пять порядков меньше доплеровской ширины линии (равной и на три порядка меньше естественной ширины линии (равной ). Следовательно, для видимого света линии испускания и поглощения можно считать точно совмещенными друг с другом.