§ 49. Фононы

В предыдущем параграфе мы установили, что энергия кристалла может быть представлена как сумма энергий нормальных колебаний решетки:

(N — число элементарных ячеек в кристалле, — число атомов в ячейке).

За вычетом энергии нулевых колебаний энергия нормального колебания частоты ом слагается из порций величины

Эта порция (квант) энергии называется фононом. Многие процессы в кристалле (например, рассеяние рентгеновских лучей или нейтронов) протекают так, как если бы фонон обладал импульсом

где k — волновой вектор соответствующего нормального колебания.

Фонон во многих отношениях ведет себя так, как если бы он был частицей с энергией (49.1) и импульсом (49.2). Однако в отличие от обычных частиц (электронов, протонов, фотонов и т. п.) фонон не может возникнуть в вакууме — для своего возникновения и существования фонон нуждается в некоторой среде. Подобного рода частицы называются квазичастицами. Таким образом, фонон является квазичастицей.

Импульс фонона обладает своеобразными свойствами. При взаимодействии фононов друг с другом их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке и, следовательно, не сохраняется. В связи с этим величину (49.2) в случае фононов называют не импульсом, а квазиимпульсом.

В случае теплового равновесия среднее число фононов частоты определяется условием

(см. формулу {46.1)). Отсюда

Из (49.3) вытекает, что в кристалле может одновременно возбуждаться неограниченное количество одинаковых фононов. Следовательно, принцип Паули на фононы не распространяется.

Отметим; что кванты электромагнитного поля — фотоны, находящиеся в состоянии равновесия со стенками полости (см. гл. I), также подчиняются распределению (49.3).

Таким образом, колебания кристаллической решетки можно представить как фононный газ, заключенный в пределах образца кристалла, подобно тому как электромагнитное излучение можно представить как фотонный газ, заполняющий полость.

Формально оба представления весьма схожи — и фотоны, и фононы подчиняются одной и той же статистике. Однако между фотонами и фононами имеется существенное различие: в то время как фотоны являются истинными частицами, фононы являются квазичастицами.

Комбинационное рассеяние света кристаллами (см. § 41) можно трактовать как процесс взаимодействия фотона с фононами, Фотон, пролетающий через кристаллическую решетку, может возбудить в ней фонон одной из частот оптической ветви кристалла. На это фотон израсходует часть своей энергии, вследствие чего его частота уменьшается — возникает красный спутник. Если в кристалле уже был возбужден фонон, пролетающий фотон может поглотить его, увеличив за этот счет свою энергию, — возникает фиолетовый спутник.

Распределение (49.3) представляет собой частный случай распределения Бозе—Эйнштейна, которому подчиняются частицы, обладающие целочисленным (в частности, нулевым) спином. Общее выражение этого распределения имеет вид

где — среднее число частиц, находящихся в состоянии с номером — энергия частицы в этом состоянии, так называемый химический потенциал, определяемый из условий, что сумма всех равна полному числу N частиц в системе:

Значения в распределении (49.4) не могут быть положительными, ибо в противном случае при среднее число оказалось бы отрицательным, что лишено физического смысла. Таким образом, Для систем с переменным числом частиц (к числу которых относятся как система фотонов, так и система фононов) и формула (49.4) переходит в (49.3).

Распределение (49.4) лежит в основе статистики Бозе — Эйнштейна. Частицы, подчиняющиеся этой статистике, называются бозонами. Таким образом, и фотоны, и фононы являются базонами. К числу бозонов принадлежат все частицы, обладающие нулевым или целочисленным спином.

Для бозонов характерно то, что вероятность Р возникновения («рождения») бозона в состоянии, в котором уже имеется частиц, пропорциональна :

Таким образом, бозоны «любят» накапливаться в одном состоянии — они являются «коллективистами».