§ 48. Теория Дебая

Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещения других соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных друг с другом атомов, обладающую степенями свободы.

В § 100 2-го тома мы выяснили, что произвольное колебание струны является суперпозицией гармонических стоячих волн. Следовательно, каждое нормальное колебание струны представляет собой стоячую волну. Аналогично, каждому нормальному колебанию кристаллической решетки соответствует стоячая волна, устанавливающаяся в объеме кристаллического тела.

Действительно, из-за связи между атомами колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая волна. Дойдя до границы кристалла, волна отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна. Стоячие волны могут возникать лишь для частот (или длин волн), удовлетворяющих определенным условиям. Если взять кристаллическое тело в виде параллелепипеда со сторонами а, b и с, то эти условия выражаются формулами (5.23).

Число стоячих волн, т. е. нормальных колебаний, частоты которых заключены в интервале от до , определяется выражением (5.26). Объем кристалла V входит в это выражение в виде отдельного множителя. Поэтому можно говорить о числе нормальных колебаний, приходящихся на единицу объема кристалла. В соответствии с (5.27) это число равно

где v — фазовая скорость волны в кристалле. Подчеркнем, что теперь под мы понимаем число стоячих волн, приходящихся на единицу объема; в § 5 это число обозначалось символом Однако в связи с тем, что букву нам придется использовать для обозначения числа атомов в единице объема, целесообразно вместо писать

Формула (48.1) не учитывает возможных видов поляризации волны. В твердой среде вдоль некоторого направления могут распространяться три разные волны с одним и тем же значением о, отличающиеся направлением поляризации: одна продольная и две поперечные с взаимно перпендикулярными направлениями колебаний. В соответствии с этим формулу (48.1) нужно видоизменить следующим образом:

Здесь — фазовая скорость продольных, — поперечных упругих волн. Положим для простоты, что Тогда

Максимальную частоту нормальных колебаний решетки можно найти, приравняв полное число колебаний числу степеней свободы, равному ( — число атомов в единице объема кристалла; напомним, что расчет производится для единицы объема):

Отсюда

Отметим, что в соответствии с (48.3) наименьшая длина волны, возбуждаемая в кристалле, оказывается равной

где d — расстояние между соседними атомами в решетке. Этот результат согласуется с тем, что волны, длина которых меньше удвоенного межатомного расстояния, не имеют физического смысла.

Исключив из равенств (48.2) и (48.3) скорость v, получим для числа нормальных колебаний в интервале частот приходящегося на единицу объема кристалла, следующее выражение:

Внутренняя энергия единицы объема кристалла может быть представлена в виде

где среднее значение энергии нормального колебания частоты . Подставив выражение (46.1) для для придем к формуле

Здесь -энергия нулевых колебаний кристалла.

Производная от U по Т дает теплоемкость единицы объема кристалла:

Величину , определяемую условием: называют характеристической температурой Дебая. По определению,

Температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где становится существенным квантование энергии колебаний.

Введем переменную Тогда выражение для теплоемкости примет вид

где . При верхний предел интеграла будет очень большим, так что его можно приближенно положить равным бесконечности . Тогда интеграл будет представлять собой некоторое число, и теплоемкость С окажется пропорциональной кубу температуры: . Эта приближенная зависимость известна как закон Дебая. При достаточно низких температурах этот закон выполняется во многих случаях очень хорошо.

Рис. 48.1.

При , т. е. при , формулу (48.5) можно упростить, положив

Тогда для внутренней энергии получается выражение

а для теплоемкости — значение фигурирующее в законе Дюлонга и Пти.

О согласии теории Дебая с опытом можно судить по рис. 48.1, на котором приведены данные для теплоемкости алюминия и меди ; — классическое значение теплоемкости, получающееся из квантовых формул при . Кривые построены по формуле (48.7), кружками показаны экспериментальные точки.

Формула Дебая хорошо передает ход теплоемкости с температурой лишь для тел с простыми кристаллическими решетками, т. е. для химических элементов и некоторых простых соединений.

К телам с более сложной структурой формула Дебая неприменима. Это вызвано тем, что у таких тел спектр колебаний оказывается чрезвычайно сложным. В рассмотренном нами выше случае простой кристаллической решетки (у которой в элементарной ячейке содержится только один атом) каждому значению волнового вектора к соответствовали три значения собственной частоты колебаний решетки (одно для продольной и два совпадающих друг с другом значения для поперечных волн). Если число атомов в элементарной ячейке кристалла равно , каждому значению к соответствует в общем случае различных значений , следовательно, частота является многозначной функцией волнового вектора, обладающей ветвями. Так, например, в случае одномерной цепочки, построенной из чередующихся атомов двух сортов зависимость о от k имеет вид, показанный на рис. 48.2. Одна из ветвей называется акустической, вторая — оптической. Эти ветви отличаются дисперсией, т. е. характером зависимости от . Акустическая ветвь при убывании k идет в нуль, оптическая ветвь имеет своим пределом конечное значение

Рис. 48.2.

В трехмерном случае из ветвей три являются акустическими, остальные оптическими. Акустическим ветвям соответствуют звуковые частоты, оптическим — частоты, лежащие в инфракрасной области спектра. При нормальном колебании акустической частоты колеблются друг относительно друга аналогичные атомы, помещающиеся в различных элементарных ячейках. При нормальных колебаниях оптической частоты колеблются друг относительно друга различные атомы внутри каждой из элементарных ячеек; аналогичные атомы различных ячеек находятся при этом на неизменных расстояниях друг от друга.