ПРИЛОЖЕНИЯ

I. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

(Понятие об общей теории относительности)

Созданная А. Эйнштейном в 1916 г. общая теория относительности (ОТО) представляет собой классическую (неквантовую) релятивистскую теорию гравитации. Некоторые физики склонны считать ОТО самой красивой из существующих физических теорий.

В основу ОТО Эйнштейн положил принцип эквивалентности (см. § 47 1-го тома), согласно которому свойства движения в неинердиальной системе отсчета те же, что и в инерциальной системе при наличии гравитационного поля. Таким образом, неинерциальная система отсчета эквивалентна некоторому гравитационному полю.

Из принципа эквивалентности вытекает, что все явления, которые обусловлены неинерциальиостью системы отсчета, могут наблюдаться в инерциальной системе в результате действия сил тяготения.

В качестве примера рассмотрим движение в вакууме световой частицы — фотона (совокупность таких частиц, летящих «бок о бок», образует световой луч). Из оптики известно, что в вакууме в отсутствие каких-либо полей световые лучи прямолинейны. Следовательно, в инерциальной системе отсчета в отсутствие гравитационного поля фотон летит со скоростью с по прямолинейной траектории. Примем эту траекторию за ось к (рис. 1). В неинерциальной системе отсчета, движущейся с ускорением а параллельно оси у, фотон будет обладать ускорением а, перпендикулярным к оси х. Поэтому относительно неинерциальной системы отсчета, одновременно с движением вдоль оси х со скоростью с, фотон будет двигаться равноускоренно вдоль оси у. За время 1 фотон пройдет вдоль оси х путь вдоль оси у путь Исключив из выражений для и у время t, получим уравнение траектории фотона, т. е. уравнение луча в неинерциальной системе отсчета:

Таким образом, световой луч, прямолинейный в инерциальной системе отсчета, в неинерииальной системе отсчета искривляется и приобретает форму параболы.

Рис. 1.

Согласно принципу эквивалентности такое же искривление луча должно наблюдаться в инерциальной системе отсчета под действием перпендикулярного к лучу однородного гравитационного поля. Отсюда заключаем, что световые частицы фотоны подвержены действию сил тяготения.

тома мы отмечали, что пространство, в котором квадрат расстояния между двумя точками определяется выражением

называется евклидовым.

В таком пространстве справедлива евклидова геометрия, в которой постулируется, что линии, вдоль которых расстояние между двумя точками минимально, являются прямыми (образно можно сказать, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками). В евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна я, а отношение длины окружности к радиусу равно Пространство с такими свойствами называется плоским.

Псевдоевклидово четырехмерное пространство-время в отсутствие гравитационных полей также является плоским. При переходе в неннерциальную систему отсчета пространство-время оказывается искривленным.

Рассмотрим понятие кривизны пространства на примере двумерных пространств. В случае двумерного плоского пространства множество принадлежащих ему точек образует плоскость и кривизна пространства равна нулю. Простейшим двумерным пространством с отличной от нуля кривизной является сфера (рис. 2). Кривизна этого пространства растет с уменьшением принимается равной . Кратчайшим расстоянием между точками 1 и 2 в таком пространстве является не прямая (точки которой не принадлежат данному пространству), а дуга большой окружности (т. е. окружности, которая делит сферу на две равные части).

Линии, вдоль которых расстояние между двумя точками является минимальным, называются геодезическими. В случае двумерного сферического пространства геодезическими линиями являются большие окружности.

Рис. 2.

Геометрия сферического пространства неевклидова. Это, в частности, проявляется в том, что сумма углов треугольника превышает я, а длина окружности I меньше чем Действительно, на рис. 2, а показан треугольник ABC, все углы при вершинах которого равны сумма углов этого треугольника равна т. е. больше . Радиус изображенной на рис. 2, б окружности, равный отрезку дуги геодезической линии, превышает радиус окружности на плоскости; следовательно, .

Мы выяснили неевклидовость двумерного сферического пространства, рассматривая его «со стороны» из трехмерного пространства. Однако «обитатели» сферы могли бы установить неевклидовость пространства, в котором они «живут», не выходя за его пределы. Для этого им достаточно было бы обнаружить, что сумма углов треугольника отлична от , а длина окружности не равна .

Аналогично обстоит дело в случае трехмерного пространства, в котором мы жнвем. Для того чтобы определить метрику этого пространства, нет необходимости рассматривать его со стороны из четырехмерного пространства (что невозможно).

Достаточно, скажем, определить сумму углов треугольника и отношение длины окружности к ее радиусу. Следует иметь в виду, что вблизи поверхности Земли неевклидовость пространства крайне мала и не может наблюдаться непосредственно.

Вся совокупность экспериментальных данных указывает на то, что пространство, в котором мы живем, является практически плоским (т. е. евклидовым) лишь в случае слабых гравитационных полей (к числу которых относится поле Земли). Одиако вблизи больших гравитирующих масс это пространство искривляется и становится неевклидовым.

Вернемся к четырехмерному пространству-времени. При наличии гравитационного поля пространство-время оказывается искривленным. Кратчайшим расстоянием между двумя мировыми точками в искривленном пространстве-времени является геодезическая линия.

Согласно Эйнштейну, никаких специальных гравитационных сил не существует и всякое тело (начиная от фотона и кончая любым небесным телом) всегда движется в пространстве-времени «свободно» вдоль геодезических линий. При этом в обычном трехмерном пространстве тело движется, вообще говоря, вдоль криволинейных траекторий с переменной скоростью, т. е. так, как оно двигалось бы под действием некоторой силы. Например, Земля движется вокруг Солнца по искривленной траектории (орбите) не потому, что какие-то силы препятствуют ее прямолинейному движению, а потому, что она беспрепятственно скользит в искривленном пространстве-времени вдоль геодезической линии в окрестности Солнца. Таким образом, тяготение есть свойство самого пространства-времени, а не некое воздействие на его фоне.

Геометрия искривленного пространства-времени является неевклидовой, в чем мы убедились на примере двумерного сферического пространства. Первую неевклидову геометрию построил в 1826 г. Н. И. Лобачевский. Затем появились неевклидовы геометрии Я. Больяи, К. Гаусса и, наконец, Б. Римана. Эйнштейн использовал в своей работе геометрию Римана.

Эйнштейн вывел уравнения гравитационного поля, которые связывают величину, характеризующую кривизну пространств -времени (теизор кривизны) с величиной, характеризующей распределение в пространстве источников тяготения (тензором энергии-импульса). Уравнения Эйнштейна описывают, как заданное распределение энергии и импульса (в том числе и энергии покоя тел) искажает структуру пространства-временн в окрестности этого распределения. Эти уравнения исключительно сложны. Известно лишь несколько их точных решений.

В 1916 г. К. Шварцшильдом было получено решение уравнений Эйнштейна для случая пустого пространства вокруг сферического тела. Если пренебречь гравитационными полями планет, условие этой задачи соответствует модели солнечной системы.

Общая теория относительности дала, в частности, объяснение трех эффектов, наблюдаемых экспериментально.

1. Вращение перигелия планет. Согласно решению Шварцшильда, планеты движутся по эллиптическим орбитам, которые медленно поворачиваются (прецессируют) в своей плоскости. Это приводит к вращению ближайшей к Солицу точки орбиты планеты, называемой перигелием. Эффект прецессии крайне мал. Сильнее всего он выражен для самой близкой к Солнцу планеты — Меркурия. Поворот оси эллиптической орбиты этой планеты составляет всего 43" в столетие (полный оборот осуществляется за три миллиона лет). Для Земли прецессия вызывает поворот орбиты на 4" в столетне. Прецессия орбит планет подтверждена экспериментально, причем теоретические и экспериментальные значения совпадают с очень большой точностью.

2. Искривление световых лучей. Одним из подтверждений ОТО является искривление световых лучей под действием гравитационного поля. Исходящий из звезды А (рис. 3) световой луч, проходя в непосредственной близости к поверхности Солица, искривляется, вследствие чего видимое положение звезды на небесной сфере изменяется — она кажется находящейся в точке В.

Теория дает для угла отклонения луча а значение, равное Для лучей видимого света это явление можно наблюдать лишь во время полного солнечного затменн», когда звезды вблизи солнечного диска становятся видимыми, В силу разных причнн такие измерения оказываются ненадежными. С большой точностью было определено отклонение Солнцем радиолучей от квазаров (оно должно быть таким же, как и отклонение световых лучей). Полученное значение угла а совпало с предсказанным ОТО с точностью в 1 %.

3. Гравитационное красное смещение. Согласно ОТО ход времени вблизи гравитирующих объектов замедляется. Чем сильнее гравитационное поле, тем медленнее течет время по сравнению с течением времени для наблюдателя, находящегося вне поля. Таким образом, на Солнце время течет медленнее, чем на Земле. Время течет быстрее на горных вершинах, чем в долинах. В Италии, США и Японии были проделаны эксперименты, в которых сравнивался ход двух идентичных атомных часов, одни из которых находились высоко в горах. Результаты измерений оказались в полном согласии с ОТО.

Рис. 3.

Рис. 4.

Допустим, что от Солнца к Земле распространяется световая волна, причем за одну секунду солнечного времени посылается гребней и впадин волны. Тогда — частота света на Солнце. Так как время на Солнце течет медленнее, чем на Земле, одной секунде «солнечного» времени соответствуют секунд «земного» времени За этот промежуток времени на Землю придут гребней и впадин волны. Следовательно, частота света на Земле будет в раз меньше, чем на Солнце: . Это явление называется гравитационным красным смещением.

Вычисления приводят к следующей формуле для относительного изменения частоты за счет гравитационного красного смещения;

Здесь — частота излучения в точке, в которой потенциал гравитационного поля имеет значение — частота в точке, в которой гравитационный потенциал имеет значение Разность очень мала по сравнению с или поэтому в качестве v в знаменателе можно с равным правом взять как так и

Рассмотрим вблизи поверхности Земли вертикальный световой луч (рис. 4.). Согласно формуле (46.5) 1-го тома разность потенциалов между точками 1 и 2 равна

Подстановка этого значения в формулу (1) дает, что

(мы обозначили разность частот через ).

В 1960 г. американские физики Р. В. Паунд и Дж. Ребка измерили в лаборторных условиях гравитационное изменение частоты -фотонов. Расстояние l в их опыте равнялось 21 м. Подстановка значений g, l и с в формулу (2) дает для относительного изменения частоты значение

Полученный результат совпал с предсказанным теоретически.

Умножив числитель и знаменатель левой части формулы (2) на постоянную Планка h и учтя, что произведение дает энергию 8 фотона, можио придать формуле вид

Согласно ньютоновской теории тяготения такое же изменение кинетической энергии получает, пройдя по вертикали расстояние частица с массой Это обстоятельство послужило основанием для того, чтобы объяснять воздействие гравитации на свет тем, что фотон будто бы обладает массой .

Такая точка зрения совершенно неправомерна. В случае слабых гравитационных полей и малых скоростей ОТО переходит в ньютоновскую теорию (в закон всемирного тяготения), которая при указанных условиях оказывается справедливой. Однако фотон всегда движется со скоростью с и поэтому не может описываться нерелятивистской ньютоновской теорией. Например, расчет искривления световых лучей Солнцем, согласно ньютоновской теории, приводит к грубо неверному результату — отклонение оказывается ровно в два раза меньшим, чем получающееся в ОТО в полном согласии с опытом. Чтобы с помощью ньютоновской теории получить правильное значение угла отклонения лучей, нужно приписать фотону массу, равную Но не может же одна и та же частица иметь несколько различных значений массы. Правильная точка зрения заключается в том, что фотон — безмассовая частица. Это не мешает ему испытывать воздействие гравитационного поля. В теории Ньютона источником гравитации служит масса тел. Согласно же ОТО гравитация порождается энергией и импульсом. Фотон, не имея массы, обладает как энергией, так и импульсом.

А. А. Фридман нашел в 1922 г. решение уравнений Эйнштейна в предположении, что вещество однородно распределено по пространству. Из этого решения следует, что однородная Вселенная не может быть стационарной. Она всегда находится в состоянии либо расширения, лвбо сжатия. Наблюдения показывают, что в настоящее время Вселенная находится в состоянии расширения.

В 1929 г. американский астровом Э. П. Хаббл обнаружил у далеких галактик одинаковое для всех спектральных линий относительное увеличение длины волны, примерно пропорциональное расстоянию от нас до галактики:

Это соотношение носит название закона Хаббла, а коэффициент пропорициональности Н — постоянной Хаббла.

Возрастание длин волн обусловлено удалением источников света (это явление называется эффектом Доплера; см. § 151 2-го тома). Из закона Хаббла вытекает, что галактики удаляются от нас (разлетаются) со скоростями, пропорциональными расстояниям до них. Чтобы описать разбегание галактик, говорят, что Вселенная расширяется. Это расширение служит подтверждением правильности ОТО.

Следует иметь в виду, что разбегание галактик происходит не только относительно Земли (в таком случае Земля могла бы рассматриваться как «центр Вселенной). Из любой точки Вселенной далекие галактики будут видны удаляющимися от этой точки, В этом и заключается сущность расши» ряющейся Вселенной.

В заключение отметим, что до сих пор не обнаружено ни одного отклонения от предсказаний общей теории относительности.

II. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА

(см. скан)

II. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА (продолжение)

(см. скан)