§ 24. Квантование момента импульса

В § 21 было указано, что в квантовой механике каждой физической величине q сопоставляется оператор Q (для каждой величины оператор обозначается по-своему: для энергии — , для импульса — и т. д.). Решая уравнение

находят собственные значения оператора Q. Согласно одному из постулатов квантовой механики при измерениях физической величины q, представляемой оператором Q, могут получаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.

Возможны состояния, для которых при измерениях некоторой величины q всегда получается одно и то же значение . О таких состояниях говорят как о состояниях, в которых величина q имеет определенное значение. Однако возможны также состояния, для которых при измерениях получаются с разной вероятностью различные собственные значения оператора Q. О таких состояниях говорят как о состояниях, в которых величина q не имеет определенного значения.

Применительно к моменту импульса в квантовой механике вводятся четыре оператора: оператор квадрата момента и три оператора проекций момента на оси координат: Оказывается, что одновременно могут иметь определенные значения лишь квадрат момента и одна из проекций момента на координатные оси. Две другие проекции оказываются при этом совершенно неопределенными.

Это означает, что «вектор» момента не имеет определенного направления и, следовательно, не может быть изображен, как в классической механике, с помощью направленного отрезка прямой.

Решение уравнения

является очень трудным. Поэтому мы ограничимся приведением конечных результатов: собственные значения оператора квадрата момента импульса равны

Здесь I — квантовое число, называемое азимутальным. Следовательно, модуль момента импульса может иметь лишь дискретные значения, определяемые формулой

Вид оператора довольно прост. Поэтому мы можем рассмотреть решение уравнения

в качестве еще одного примера на нахождение собственных значений (первый пример был рассмотрен в предыдущем параграфе, в котором были определены собственные значения энергии для частицы в потенциальной яме).

В сферических координатах оператор проекции момента импульса на полярную ось z (от которой отсчитывается полярный угол ) имеет вид

Следовательно, уравнение (24.3) выглядит следующим образом:

Подстановка приводит после сокращения на общий множитель к алгебраическому уравнению

из которого для а получается значение Таким образом, решение уравнения (24.4) имеет вид

Для того чтобы эта функция была однозначной, необходимо выполнение условия: или

Это условие будет выполнено, если положить где — целое положительное или отрицательное число либо нуль. Следовательно, оператор обладает дискретным спектром:

По причинам, которые выяснятся в дальнейшем, называется магнитным квантовым числом. Напомним, что квантование проекции момента было обнаружено экспериментально Штерном и Герлахом (см. § 56 2-го тома).

Поскольку проекция вектора не может превзойти модуль этого вектора, должно выполняться условие

Отсюда следует, что максимальное возможное значение равно l.

Для удобства обозрения напишем вместе полученные результаты:

Из этих формул вытекает, что всегда меньше М. Следовательно, направление момента импульса не может совпадать с выделенным в пространстве направлением. Это согласуется с тем обстоятельством, что направление момента в пространстве является неопределенным.

Подчеркнем, что отличные от (24.6) значения М и не могут наблюдаться ни при каких обстоятельствах. Следовательно, моменты макроскопических тел также подчиняются правилам (24.6). Правда, вследствие малости дискретность моментов макроскопических тел практически не обнаруживается, подобно тому как вследствие малости элементарного заряда не обнаруживается дискретность макроскопических электрических зарядов.

Отметим, что из правил квантования момента вытекает, что постоянную Планка можно рассматривать как естественную единицу момента импульса.

Момент импульса системы, состоящей из нескольких микрочастиц, равен сумме моментов отдельных частиц. Суммарный момент, как и всякий момент вообще, определяется выражением

где L — азимутальное квантовое число результирующего момента. В случае системы, состоящей из двух частиц, число L может иметь значения:

где — числа, определяющие модули складываемых моментов по формуле

Легко сообразить, что результирующий момент может иметь или различных значений (нужно взять меньшее из двух ).

В случае системы, состоящей из большего, чем два, числа частиц, максимальное значение квантового числа L, очевидно, равно сумме чисел l отдельных частиц. Чтобы найти минимальное значение L, нужно сложить сначала числа l любых двух частиц. Затем каждый из полученных результатов складывается с l третьей частицы, и т. д. Наименьшее из получившихся при этом чисел будет представлять собой минимальное возможное значение квантового числа L. Пусть, например, Возможные значения суммарного момента первой и второй частиц определяются числами 0, 1 и 2. Сложение первого из этих результатов с дает второго результата — , третьего результата — . Следовательно, квантовое число, определяющее результирующий момент в рассматриваемом случае, может иметь значения . Минимальное значение L оказалось равным 0, максимальное, как и следовало ожидать, равно (1 + 1 + 1).

Проекция результирующего момента на некоторое направление z определяется, как и для любого момента вообще, выражением

(см. (24.6)).

Механический момент заряженной частицы неразрывно связан с ее магнитным моментом (см. § 56 2-го тома). Магнитные моменты, как мы знаем, взаимодействуют друг с другом. Каждому из возможных значений результирующего момента соответствует свое значение энергии взаимодействия. При воздействии на систему слабого магнитного поля связь между моментами не нарушается, и проектируется на направление В результирующий момент. В случае достаточно сильного поля связь между моментами разрывается, и каждый из этих моментов проектируется на направление В независимо от других.