§ 52. Распределение Ферми — Дирака

При абсолютном нуле в каждом из состояний, энергия которых не превышает находится один электрон; в состояниях с электроны отсутствуют. Следовательно, функция распределения электронов по состояниям с различной энергией имеет при абсолютном нуле вид, показанный на рис. 52.1.

Найдем функцию распределения при температуре, отличной от абсолютного нуля.

Рис. 52.1.

Следуя Киттелю, рассмотрим неупругие столкновения равновесного электронного газа с атомом примеси, внедренным в кристаллическую решетку металла. Допустим, что атом примеси может находиться лишь в двух состояниях, энергию которых мы положим равной 0 и .

Из множества процессов столкновений рассмотрим тот, в результате которого электрон переходит из состояния к с энергией Е в состояние к с энергией . Атом примеси переходит при этом с уровня с энергией на уровень с энергией, равной нулю. Вероятность перехода к пропорциональна: 1) вероятности того, что состояние занято электроном, 2) вероятности того, что состояние свободно, 3) вероятности того, что атом примеси находится в состоянии с энергией е. Таким образом,

Вероятность обратного процесса пропорциональна выражению

где - вероятность того, что атом примеси находится в состоянии с энергией, равной нулю.

В силу принципа детального равновесия коэффициент пропорциональности в выражениях (52.1) и (52.2) одинаков.

В равновесном состоянии вероятности переходов должны быть одинаковыми. Следовательно,

Отсюда

(мы учли, что вероятности нахождения атома примеси на уровнях подчиняются закону распределения Больцмана).

Функциональное уравнение (52.3) должно выполняться при любой температуре Т. Это произойдет, если положить

где — величина, не зависящая от Е. Соответственно

Произведение этих двух выражений при любой температуре равно

Решив уравнение (52.4) относительно получим для функции распределения электронов по состояниям с различной энергией выражение

Это выражение называется функцией распределения Ферми — Дирака. Параметр носит название химического потенциала.

В соответствии со смыслом функции (52.5) величина представляет собой среднее число электронов, находящихся в состоянии с энергией Е. Поэтому формуле (52.5) можно придать вид

(ср. с (49.4)). В отличие от (49.4), параметр в распределении (52.6) имеет положительные значения (в данном случае это не приводит к отрицательным значениям чисел ). Распределение (52.6) лежит в основе статистики Ферми—Дирака.

Частицы, подчиняющиеся этой статистике, называются фермионами. К их числу относятся все частицы с полуцелым спином.

Для фермионов характерно то, что они никогда не занимают состояния, в котором уже находится одна частица. Таким образом, фермионы являются «индивидуалистами». Напомним, что бозоны, напротив, являются «коллективистами» (см. конец § 49).

Имеющий размерность энергии параметр часто обозначается через и называется уровнем Ферми или энергией Ферми. В этих обозначениях функция (52.5) имеет вид

Исследуем свойства функции (52.7). При абсолютном нуле

и

Таким образом, при 0 К уровень Ферми ЕР совпадает с верхним заполненным электронами уровнем (см. предыдущий параграф).

Независимо от значения температуры, при функция равна Следовательно, уровень Ферми совпадает с тем энергетическим уровнем, вероятность заполнения которого равна половине.

Значение ЕР можно найти из условия, что полное число электронов, заполняющих уровни, должно равняться числу свободных электронов в кристалле ( — плотность электронов, V — объем кристалла). Количество состояний, приходящееся на интервал энергий , равно где — плотность состояний. Среднее число электронов, находящихся в случае теплового равновесия в этих состояниях, определяется выражением Интеграл от этого выражения даст полное число свободных электронов в кристалле:

Это соотношение представляет собой по существу условие нормировки функции

Подстановка в (52.8) выражений (51.9) и (52.7) дает

Это соотношение позволяет в принципе найти как функцию . Интеграл в выражении (52.9) не берется. При условии, что удается найти приближенное значение интеграла. В результате для уровня Ферми получается выражение

(напомним, что ) зависит от ; см. (51.10)).

Из (52.10) следует, что при низких температурах (для которых только и справедливо это выражение) уровень Ферми хотя и зависит от температуры, но очень слабо. Поэтому во многих случаях можно полагать Однако для понимания, например, термоэлектрических явлений (см. § 63) зависимость от Т имеет принципиальное значение.

При температурах, отличных от абсолютного нуля, график функции (52.7) имеет вид, показанный на рис. 52.2. В случае больших энергий (т. е. при что выполняется в области «хвоста» кривой распределения) единицей в знаменателе функции можно пренебречь. Тогда распределение электронов по состояниям с различной энергией принимает вид

(52.11)

т. е. переходит в функцию распределения Больцмана.

Отметим, что заметное отличие кривой на рис. 52.2 от графика, изображенного на рис. 52.1, наблюдается лишь в области порядка Чем выше температура, тем более полого идет ниспадающий участок кривой.

Поведение электронного газа в сильной степени зависит от соотношения между температурой кристалла и температурой Ферми, равной Различают два предельных случая.

1. . В этом случае электронный газ называется вырожденным.

2. . В этом случае электронный газ называется невырожденным.

В предыдущем параграфе мы установили, что температура Ферми для металлов составляет несколько десятков тысяч кельвин. Поэтому даже при температуре, близкой к температуре плавления металла электронный газ в металле является вырожденным. В полупроводниках плотность свободных электронов оказывается много меньшей, чем в металлах. Соответственно мало ( приближенно пропорционально ; см. (52.10) и (51.10)).

Рис. 52.2.

Поэтому уже при комнатной температуре электронный газ во многих полупроводниках является невырожденным и подчиняется классической статистике.