§ 23. Квантование энергии

Уравнение Шрёдингера позволяет найти пси-функцию данного состояния и, следовательно, определить вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Однако этим далеко не исчерпывается значение указанного уравнения. Из уравнения (21.9) и условий, налагаемых на пси-функцию, непосредственно вытекают правила квантования энергии.

В соответствии со своим смыслом пси-функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, быть может, особых точек). Кроме того, она должна иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность перечисленных требований носит название стандартных условий.

В уравнение Шрёдингера входит в качестве параметра полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (21.9) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях параметра (т. е. энергии Е), а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями соответствующей величины (в нашем случае — энергии). Решения, соответствующие собственным значениям Е, называются собственными функциями задачи.

Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если эта совокупность образует дискретную последовательность, спектр называется дискретным. Если собственные значения образуют непрерывную последовательность, спектр называют непрерывным или сплошным. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только таких задач, у которых спектр собственных значений является дискретным.

В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:

Таким образом, квантование энергии получается из основных положений квантовой механики без каких-либо дополнительных предположений.

Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет весьма трудную математическую задачу. Мы рассмотрим пример, достаточно простой для того, чтобы можно было решить уравнение Шрёдингера без большого труда.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: Потенциальная энергия U имеет в этом случае следующий вид (рис. 23.1,а): она равна нулю при и обращается в бесконечность при .

Рис. 23.1,

Возьмем уравнение Шрёдингера в виде (21.5). Поскольку пси-функция зависит только от координаты х, уравнение упрощается следующим образом:

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне/ямы равна нулю. Соответственно и функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е. что

Это и есть то условие, которому должны удовлетворять решения уравнения (23.2).

В области, где не равна тождественно нулю, уравнение (23.2) имеет вид

(в этой области ). Введя обозначение

придем к уравнению, хорошо известному из теории колебаний:

Решение этого уравнения имеет вид

Условиям (23.3) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных k и а. Прежде всего из условия получаем

откуда следует, что а должна быть равна нулю. Далее, должно выполняться условие:

что возможно лишь в случае, если

( отпадает, поскольку при этом получается — частица нигде не находится).

Исключив k из уравнений (23.5) и (23.7), найдем собственные значения энергии частицы:

Спектр энергии оказался дискретным. На рис. 23.1, б изображена схема энергетических уровней.

Оценим расстояния между соседними уровнями для различных значений массы частицы и ширины ямы Разность энергий двух соседних уровней равна

Если взять порядка массы молекулы порядка см (молекулы газа в сосуде), получается:

Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр энергии, так что хотя квантование энергии в принципе будет иметь место, но на характере движения молекул сказываться не будет.

Аналогичный результат получается, если взять порядка массы электрона ) при тех же размерах ямы (свободные электроны в металле).

В этом случае

Однако совсем иной результат получается для электрона, если область, в пределах которой он движется, будет порядка атомных размеров см). В этом случае

так что дискретность энергетических уровней будет весьма заметной.

Подставив в (23.6) значение k, получающееся из условия (23.7), найдем собственные функции задачи:

(напомним, что ). Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (22.3), которое в данном случае запишется следующим образом:

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль.

Рис. 23.2.

Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение (равное, как известно, 1/2) на длину промежутка l. В результате получится:

откуда

Таким образом, собственные функции имеют вид

Графики собственных функций изображены на рис. 23.2, а. На рис. 23.2, б дана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная Из графиков, например, следует, что в состоянии с частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, очевидно, несовместимо с представлением о траекториях. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.