§ 20. Принцип неопределенности

В классической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т. д. Перечисленные величины называются динамическими переменными. Строго говоря, микрообъекту не могут быть приписаны указанные динамические переменные. Однако информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами, представляющими собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характеристики макротел, т. е. через значения динамических переменных. В соответствии с этим измеренные значения динамических переменных приписываются микрочастицам. Например, говорят о состоянии электрона, в котором он имеет такое-то значение энергии, и т. д.

Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь, одновременно точных значений координаты х и компоненты импульса . Неопределенности значений удовлетворяют соотношению

( — постоянная Планка). Из (20.1) следует, что чем меньше неопределенность одной из переменных или тем больше неопределенность другой. Возможно такое состояние, в котором одна из переменных имеет точное значение, другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной (ее неопределенность равна бесконечности).

Соотношение, аналогичное (20.1), имеет место для у и , для z и , а также для ряда других пар величин (в классической механике такие пары величин называются канонически сопряженными). Обозначив канонически сопряженные величины буквами А и В, можно написать

(20.2)

Соотношение (20.2) называется соотношением неопределенности для величин А и Б. Это соотношение открыл В. Гейзенберг в 1927 г.

Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка , называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенности:

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью должно занять интервал времени, равный но меньшей мере .

Рис. 20.1.

Соотношение неопределенности было установлено из рассмотрения, в частности, следующего примера. Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель ширины , расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы (рис. 20.1). До прохождения частицы через щель ее составляющая импульса имеет точное значение, равное нулю (щель по условию перпендикулярна к импульсу), так что , зато координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность , но это достигается ценой утраты определенности значения Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла , где — угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков можно пренебречь, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределенность:

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели ширины соответствует угол для которого

{см. формулу (129.5) 2-го тома). Следовательно,

Отсюда с учетом (18.1) получается соотношение

согласующееся с (20.1).

Иногда соотношение неопределенности получает следующее толкование: в действительности у микрочастицы имеются точные значения координат и импульсов, однако ощутимое для такой частицы воздействие измерительного прибора не позволяет точно определить эти значения. Такое толкование является совершенно неправильным. Оно противоречит наблюдаемым на опыте явлениям дифракции микрочастиц.

Соотношение неопределенности указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (20.1) вместо произведение тих, получим соотношение

Мы видим, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью применимо понятие траектории. Уже для макрочастицы размером всего 1 мкм неопределенности значений оказываются за пределами точности измерения этих величин, так что практически ее движение будет неотличимо от движения по траектории.

При определенных условиях даже движение микрочастицы может приближенно рассматриваться как происходящее по траектории. В качестве примера рассмотрим движение электрона в электронно-лучевой трубке. Оценим неопределенности координаты и импульса электрона для этого случая. Пусть след электронного пучка на экране имеет радиус порядка , длина трубки порядка 10 см (рис. 20.2). Тогда Импульс электрона связан с ускоряющим напряжением U соотношением

Отсюда При напряжении . В энергия электрона равна Оценим величину импульса:

Следовательно, , наконец, согласно соотношению (20.1):

Полученный результат указывает на то, что движение электрона в электронно-лучевой трубке практически неотличимо от движения по траектории.

Соотношение неопределенности является одним из фундаментальных положений квантовой механики. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов, В частности, оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и минимальную возможную энергию электрона в таком атоме.

Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона и неопределенность импульса были связаны условием (20.1), Формально энергия была бы минимальна при Поэтому, производя оценку наименьшей возможной энергии, нужно положить . Подставив эти значения в (20.1), получим соотношение

(поскольку наши выкладки могут претендовать лишь на то, чтобы дать порядки вычисляемых величин, половину в правой части мы опустили).

Энергия электрона в атоме водорода равна

Заменив согласно (20.4) через получим, что

Найдем значение , при котором Е минимальна.

Рис. 20.2.

Продифференцировав выражение (20.5) по и приравняв производную нулю, придем к уравнению:

из которого следует, что

Полученное нами значение совпадает с радиусом первой боровской орбиты водородного атома (см. формулу (17.4)).

Подстановка выражения (20.6) в формулу (20.5) дает энергию основного состояния:

Найденное значение также совпадает с энергией первого боровского уровня для Z = 1 (см. формулу (17.5)).

То обстоятельство, что мы получили точные значения и Е, является, конечно, просто удачей. Приведенный нами расчет может претендовать лишь на то, чтобы дать оценку порядка величин r и Е.