§ 42. Вынужденное излучение

До сих пор мы рассматривали только два вида переходов атомов между энергетическими уровнями: спонтанные (самопроизвольные) переходы с более высоких на более низкие уровни и происходящие под действием излучения (вынужденные) переходы с более низких на более высокие уровни. Переходы первого вида приводят к спонтанному испусканию атомами фотонов, переходы второго вида обусловливают поглощение излучения веществом.

В 1918 г. Эйнштейн обратил внимание на то, что двух указанных видов излучения недостаточно для объяснения существования состояний равновесия между излучением и веществом. Действительно, вероятность спонтанных переходов определяется лишь внутренними свойствами атомов и, следовательно, не может зависеть от интенсивности падающего излучения, в то время как вероятность «поглощательных» переходов зависит как от свойств атомов, так и от интенсивности падающего излучения.

Для возможности установления равновесия при произвольной интенсивности падающего излучения необходимо существование «испускательных» переходов, вероятность которых возрастала бы с увеличением интенсивности излучения, т. е. «испускательных» переходов, вызываемых излучением. Возникающее в результате таких переходов излучение называется вынужденным или индуцированным.

Исходя из термодинамических соображений, Эйнштейн доказал, что вероятность вынужденных переходов, сопровождающихся излучением, должна быть равна вероятности вынужденных переходов, сопровождающихся поглощением света. Таким образом, вынужденные переходы могут с равной вероятностью происходить как в одном, так и в другом направлении.

Вынужденное излучение обладает весьма важными свойствами. Направление его распространения в точности совпадает с направлением распространения вынуждающего излучения, т. е. внешнего излучения, вызвавшего переход. То же самое относится к частоте, фазе и поляризации вынужденного и вынуждающего излучений. Следовательно, вынужденное и вынуждающее излучения оказываются строго когерентными. Эта особенность вынужденного излучения лежит в основе действия усилителей и генераторов света, называемых лазерами (см. следующий параграф).

Пусть — вероятность вынужденного перехода атома единицу времени с энергетического уровня на уровень — вероятность обратного перехода. Выше было указано, что при одинаковой интенсивности излучения Вероятность вынужденных переходов пропорциональна плотности энергии вынуждающего переход электромагнитного поля, приходящейся на частоту со, соответствующую данному переходу Обозначив коэффициент пропорциональности буквой В, получим

Величины называются коэффициентами Эйнштейна. Согласно сказанному выше .

Основываясь на равновероятности вынужденных переходов Эйнштейн дал весьма простой вывод формулы Планка. Равновесие между веществом и излучением будет достигнуто при условии, что число атомов совершающих в единицу времени переход из состояния в состояние , будет равно числу атомов совершающих переход в обратном направлении.

Допустим, что Тогда переходы смогут происходить только под воздействием излучения, переходы же будут совершаться как вынужденно, так и спонтанно. Следовательно,

Условие равновесия имеет вид

Согласно (42.1)

числа атомов в состояниях тип).

Обозначим вероятность спонтанного перехода атома в единицу времени из состояния в состояние через Тогда число атомов, совершающих в единицу времени спонтанный переход , определится выражением

Подстановка выражений (42.3), (42.4) и (42.5) в соотношение (42.2) приводит к равенству

Определяемое этим равенством значение на представляет собой равновесное значение этой величины, т. е. . Таким образом,

Равновесное распределение атомов по состояниям с различной энергией определяется законом Больцмана, согласно которому

Следовательно, мы приходим к формуле

Для определения коэффициента Эйнштейн воспользовался тем, что при малых частотах выражение (42.6) должно переходить в формулу Рэлея — Джинса. В случае можно произвести замену в результате чего (42.6) принимает вид

Сравнение с формулой (6.2) дает для значение

Подстановка этого значения в (42.6) приводит к формуле Планка (см. (7.8)).