ГЛАВА VIII. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ И ПОЛУПРОВОДНИКОВ

§ 55. Электропроводность металлов

Соответствующий квантовомеханический расчет дает, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости не испытывали бы при своем движении никакого сопротивления и электропроводность металлов была бы бесконечно большой. Однако кристаллическая решетка никогда не бывает совершенной. Нарушения строгой периодичности решетки бывают обусловлены наличием примесей или вакансий (т. е. отсутствий атомов в узле), а также тепловыми колебаниями решетки. Рассеяние электронов на атомах примеси и на фононах приводит к возникновению электросопротивления металлов. Чем чище металл и ниже температура, тем меньше это сопротивление.

Удельное электрическое сопротивление металлов можно представить в виде

где — сопротивление, обусловленное тепловыми колебаг ниями решетки, рцрим — сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на примесных атомах. Слагаемое уменьшается с понижением температуры и обращается в нуль при . Слагаемое при небольшой концентрации примесей не зависит от температуры и образует так называемое остаточное сопротивление металла (т. е. сопротивление которым металл обладает при 0 К; см. рис. 34.2 2-го тома).

Пусть в единице объема металла имеется свободных электронов Назовем среднюю скорость этих электронов дрейфовой скоростью . По определению

В отсутствие внешнего поля дрейфовая скорость равна нулю, и электрический ток в металле отсутствует. При наложении на металл внешнего электрического поля Е дрейфовая скорость становится отличной от нуля — в металле возникает электрический ток. Согласно закону Ома дрейфовая скорость является конечной и пропорциональной силе .

Из механики известно, что скорость установившегося движения оказывается пропорциональной приложенной к телу внешней силе F в том случае, когда, кроме силы F, на тело действует сила сопротивления среды, которая пропорциональна скорости тела (примером может служить падение маленького шарика в вязкой среде). Отсюда заключаем, что, кроме силы , на электроны проводимости в металле действует сила «трения», среднее значение которой равно

коэффициент пропорциональности).

Уравнение движения для «среднего» электрона имеет вид

где — эффективная масса электрона (см. § 54). Это уравнение позволяет найти установившееся значение

Если после установления стационарного состояния выключить внешнее поле Е, дрейфовая скорость начнет убывать и по достижении состояния равновесия между электронами и решеткой обращается в нуль. Найдем закон убывания дрейфовой скорости после выключения внешнего поля. Положив в (55.3) Е = 0, получим уравнение

Уравнение такого вида нам хорошо знакомо. Его решение имеет вид

где — значение дрейфовой скорости в момент выключения поля.

Из (55.4) следует, что за время

значение дрейфовой скорости уменьшается в раз. Таким образом, величина (55.5) представляет собой время релаксации, характеризующее процесс установления равновесия между электронами и решеткой, нарушенного действием внешнего поля Е.

С учетом (55.5) формула (55.2) может быть написана следующим образом:

Установившееся значение дрейфовой скорости можно найти, приравняв нулю сумму силы и силы трения (55.6):

Отсюда

Установившееся значение плотности тока можно получить, умножив это значение на заряд электрона и плотность электронов

Коэффициент пропорциональности между представляет собой удельную электропроводность . Таким образом,

В § 78 2-го тома было получено следующее классическое выражение для электропроводности металлов:

где — среднее время свободного пробега электронов, m — обычная (не эффективная) масса электрона (см. формулу (78.7) 2-го тома, мы заменили в этой формуле через время свободного пробега ).

Исходя из физических соображений, удается произвести оценку величин, входящих в выражение (55.7), и тем самым вычислить по порядку величины проводимость о. Полученные таким способом значения находятся в хорошем согласии с опытными данными. Также в согласии с опытом получается, что о изменяется с температурой по закону Напомним, что классическая теория дает, что о обратно пропорциональна (см. § 78 2-го тома).

Отметим, что выкладки, приведшие к формуле (55.7), одинаково пригодны как при классической трактовке движения электронов проводимости в металле, так и при квантовомеханической трактовке. Различие этих двух трактовок заключается в следующем.

При классическом рассмотрении предполагается, что все электроны возмущаются внешним электрическим полем, в соответствии с чем каждое слагаемое в формуле (55.1) получает добавку в направлении, противоположном Е. При квантовомеханической трактовке приходится принимать во внимание, что, хотя электрическим полем также возмущаются все электроны, однако их коллективное движение воспринимается в опыте как возмущение полем лишь электронов, занимающих состояния вблизи уровня Ферми. Соответственно только эти электроны вносят вклад в сумму (55.1). Кроме того, при классической трактовке в знаменателе формулы (55.7) должна стоять обычная масса электрона , при квантовомеханической трактовке вместо обычной массы должна быть взята эффективная масса электрона т. Это обстоятельство является проявлением отмеченного в § 54 общего правила, согласно которому соотношения, полученные в приближении свободных электронов, оказываются справедливыми и для электронов, движущихся в периодическом поле решетки, если в них заменить истинную массу электрона эффективной массой .