§ 3. Равновесная плотность энергии излучения

Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. Для этого представим себе эвакуированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией и определяемой условием где — доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот

Полная плотность энергии связана с функцией формулой

Из термодинамических соображений следует, что равновесная плотность энергии излучения зависит только от температуры и не зависит от свойств стенок полости. Рассмотрим две полости, стенки которых изготовлены из разных материалов Л имеют первоначально одинаковую температуру. Допустим, что равновесная плотность энергии в обеих полостях различна и, скажем, .

Соединим полости с помощью небольшого отверстия (рис. 3.1) и тем самым позволим стенкам полостей вступить в теплообмен через излучение. Так как по предположению поток энергии из первой полости во вторую должен быть больше, чем поток, текущий во встречном направлении. В результате стенки второй полости станут поглощать больше энергии, чем излучать, и температура их начнет повышаться. Стенки же первой полости станут поглощать меньше энергии, чем излучать, так что они будут охлаждаться. Однако два тела с первоначально одинаковой температурой не могут вследствие теплообмена друг с другом приобрести различные температуры — это запрещено вторым началом термодинамики. Поэтому наше допущение о неодинаковости должно быть признано неправомерным. Вывод о равенстве распространяется на каждую спектральную составляющую и .

Независимость равновесного излучения от природы стенок полости можно пояснить следующими соображениями. Абсолютно черные стенки поглощали бы всю упавшую на них энергию и испускали бы такой же поток энергии Стенки с поглощательной способностью а поглотят долю упавшего на них потока и отразят поток, равный Кроме того, они излучат поток (равный поглощенному потоку). В итоге стенки полости вернут излучению такой же поток энергии какой возвращали бы излучению абсолютно черные стенки.

Равновесная плотность энергии излучения и связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела R простым соотношением, которое мы сейчас выведем.

Рис. 3.1.

Рассмотрим эвакуированную полость с абсолютно черными стенками. В случае равновесия через каждую точку внутри полости будет проходить в любом направлении поток излучения одинаковой плотности. Если бы излучение распространялось в одном заданном направлении (т. е. через данную точку проходил только один луч), плотность потока энергии в рассматриваемой точке была бы равна произведению плотности энергии и на скорость электромагнитной волны с. Однако через каждую точку проходит множество лучей, направления которых равномерно распределены в пределах телесного угла Поток энергии си также распределен равномерно в пределах этого телесного угла. Следовательно, в каждой точке в пределах телесного угла будет течь поток энергии, плотность которого равна

Возьмем на поверхности полости элементарную площадку (рис. 3.2). Эта площадка посылает в пределах телесного угла в направлении, образующем с нормалью угол поток энергии

По всем направлениям, заключенным в пределах телесного угла площадка посылает поток энергии

Вместе с тем поток энергии, испускаемый площадкой , можно найти, умножив энергетическую светимость R на ; Сравнение с (3.2) дает, что

Равенство (3.3) должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения. Отсюда вытекает, что

Эта формула связывает испускательную способность абсолютно черного тела с равновесной плотностью энергии теплового излучения.

Рис. 3.2.