§ 3. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

427. Принцип Гамильтона в обшем случае.

Обратимся к общему уравнению динамики:

которое должно иметь место для всех перемещений, совместимых со связями в момент t. Умножим его на и проинтегрируем от до получим уравнение

Принцип Гамильтона заключается в интерпретации этого уравнения.

Пусть будут два различных положения системы. Предположим, что эти положения выбраны так, что система может перейти из первого положения во второе в промежуток времени от до в своем естественном или действительном движении, когда она находится под действием прямо приложенных сил и сил связи, конечно, при соответствующем выборе начальных скоростей.

Предположим теперь, что, не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения динамики, но сохраняя связи, мы заставим систему перейти из того же начального положения в то же конечное положение за тот же промежуток времени, но в некотором фиктивном движении, бесконечно мало отличающемся от действительного движения, так что траектории каждой точки изменяются при этом бесконечно мало. Функции х, у, z от t получат в момент t вариации совместимые со связями, существующими в этот момент, причем эти вариации будут равны нулю при двух крайних значениях времени Мы можем поэтому предположить, что эти вариации как раз те, которые входят в уравнение (1), так что это уравнение будет удовлетворено.

Преобразуем это уравнение, интегрируя его по частям. Имеем сначала (так как вариации обращаются в нуль для пределов интеграла)

Пусть Т есть полная живая сила системы. Уравнение (1) может быть теперь написано в виде

где сумма 2 распространяется на все прямо приложенные силы.

Интеграл в уравнении (2) носит название интеграла Гамильтона, а само соотношение (2) устанавливает принцип Гамильтона.

Вот формулировка этого принципа:

Если х, у, z представляют собой функции от t, соответствующие действительному движению системы, то интеграл (2) равен нулю для всех вариаций функций х, у, z от t, совместимых со связями и исчезающих на обоих пределах интеграла.

Принцип Гамильтона совершенно общий и равносилен общему уравнению динамики. Действительно, от уравнения (2) можно перейти к уравнению (1), выполняя интегрирование по частям в обратном порядке. Вследствие неопределенности § интеграл (1) может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В самом деле, в противном случае, так как мы всегда можем изменить знаки у всех одновременно, можно выбрать эти знаки таким образом, чтобы сумма под знаком интеграла все время была положительна. Тогда интеграл, будучи положительным, не был бы равен нулю.

428. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона.

Предположим, что система имеет k степеней свободы и что ее положение определяется при помощи k обобщенных координат . При переходе из положения в положение эти координаты будут функциями от t, принимающими заданные значения для предельных значений переменной t, так как положения системы в начальный и конечный моменты времени даны. Чтобы вариации функций х, у, z были совместимы со связями в момент t и обращались в нуль на пределах, достаточно дать параметрам вариации независимые между собой и равные нулю на пределах.

Заметим теперь, что

и что Г есть функция параметров и их производных . Поэтому интеграл Гамильтона принимает вид:

и, в силу принципа Гамильтона, этот интеграл равен нулю для всех возможных систем вариаций обращающихся в нуль на обоих пределах. Но

отсюда, интегрируя по частям, получим

Поэтому будем иметь

Интеграл Гамильтона принимает, таким образом, вид:

Он может обратиться в нуль при произвольных лишь в том случае, если

Это и будут k уравнений Лагранжа.

429. Принцип Гамильтона в случае, когда существует силовая функция.

Принцип Гамильтона принимает особенно простую и изящную форму, когда имеется силовая функция U, которая может содержать также и время. При этом силовая функция может существовать только для обобщенных координат. Это значит, что при переменных и вариациях произвольных и для t постоянного имеем

Так как вариации по предположению, обращаются в нуль на пределах, то интеграл Гамильтона принимает вид:

В этом случае принцип Гамильтона формулируется следующим образом:

Если даны положения системы для двух заданных моментов то вариация интеграла

равна нулю, когда мы переходим от действительного движения системы ко всякому другому бесконечно близкому двпежению, совместимому со связями и совершающемуся за. тот же промежуток времени.

В силу основных положений вариационного исчисления условие определяющее действительное движение системы, представляет собой классическое необходимое условие максимума или минимума интеграла (4).

Уравнения Лагранжа являются не чем иным, как дифференциальными уравнениями экстремалей интеграла (4) в случае существования силовой функции. Эти уравнения можно было бы, следовательно, получить, применяя основные формулы вариационного исчисления.

430. Случай, когда нет движущих сил.

Рассмотрим систему со связями, на которую не действуют никакие движущие силы, так что . Принцип Гамильтона приводит тогда к условию

Живая сила Г существенно положительна; поэтому естественно допустить, что написанное выше условие есть условие минимума интеграла

Если это допустить, то получаем следующую теорему:

Если на материальную систему не действуют никакие движущие силы, то ее действительное движение между двумя положениями среди всех движений (совместимых со связями), переводящих систему из первого положения во второе за тот же промежуток времени, представляет собой такое движение, при котором ее срёдняя живая сила имеет минимум.

Выражение носит название элементарного действия, а интеграл от этого выражения представляет собой действие. Формула размерности действия есть, следовательно, : это есть произведение энергии на время.

Теорема, которую мы только что сформулировали для весьма частного случая, аналогична теореме, выражающей принцип наименьшего действия, но отлична от нее, как мы это сейчас покажем, так как теорема о наименьшем действии не зависит от рассмотрения времени.