66. Интегралы по поверхности и формула Остроградского.

Понятие о двукратном интеграле по плоской области без труда обобщается на случай интегрирования по поверхности. Пусть (S) — поверхность (замкнутая или незамкнутая) и непрерывная функция точки на этой поверхности. Разбиваем (S) на частей

и пусть площади этих частей и какие-либо точки, находящиеся на этих частях. Составляем сумму произведений

Предел этой суммы при беспредельном возрастании числа делений и беспредельном уменьшении каждой из частей называется интегралом от функции по поверхности

Положим, что прямые, параллельные оси Z, пересекают поверхность только в одной точке (рис. 48) и пусть проекция (S) на плоскость ХОY. Пользуясь формулой (26), устанавливающей связь между элементарной площадью поверхности (S) и соответствующей площадью ее проекции , сможем привести интеграл по поверхности (S) к интегралу по плоской области :

при этом считается, что отличен от нуля и что значение функции в точке N области совпадает со значением заданной на поверхности функции в той точке М, проекция которой совпадает с . Если уравнение поверхности (S) задано в явной форме (22) и функция выражена через координаты , то при интегрировании по достаточно подставить в выражение функции . Знаменатель в правой части (29) определится по третьей из формул (24).

Рис. 50.

Отметим, что интегралы по поверхности, очевидно, обладают всеми свойствами двойного интеграла, указанными в [64], в частности для них имеет место теорема о среднем.

Докажем теперь одну из основных в теории кратных интегралов формул — формулу Остроградского, устанавливающую связь между трехкратным интегралом по объему и интегралом по поверхности (S), ограничивающей этот объем. Будем считать, как и в что прямые, параллельные оси Z, пересекают (S) не более чем в двух

точках. Сохраним те же обозначения, что и на рис. 40 [61]. Введем еще в рассмотрение направление нормали к (S), причем будем считать, что направлено вовне объема (V) (внешняя нормаль) (рис. 50). Это направление образует на верхней части поверхности (И) острый угол с осью OZ, а на нижней части (I) — тупой угол. Поэтому на нижней части Отметим, что на линии касания поверхности (5) с проектирующим цилиндром (рис. 50). Формула (26) дает

Пусть вместе с производной — непрерывна в области вплоть до (S). Рассмотрим тройной интеграл по от функции Пользуясь формулой (16), будем иметь

Но интеграл от производной равен разности значений первообразной функции при верхнем и нижнем пределах:

или

Заменяя на по формулам (30), мы сведем интегрирование к интегрированию по (S), причем в первом интеграле, содержащем переменную ординату части (И) поверхности (S), придется пользоваться первой из формул (30), и получится интеграл по (II), во втором интеграле, содержащем придется пользоваться второй из формул (30), и получится интеграл по (I):

Значки у z можно уже не писать, так как указано, по какой именно части поверхности производится интегрирование. В правой части стоит сумма интегралов по частям (II) и (I), т. е. интеграл по всей

поверхности (S):

Если — функции, обладающие свойствами функции R, то, принимая во внимание, что

можем на основании (31) написать формулу интегрирования по частям:

Совершенно так же, взяв две другие функции мы могли бы доказать

Складывая почленно полученные три формулы, придем к формуле Остроградского

Аналогично (31,) записываются формулы интегрирования по частям для производных по х и у.

Мы не пишем здесь для краткости аргументов х, у, z у функций Р, Q и но надо помнить, что это суть функции, определенные в объеме и непрерывные со своими производными.

В следующей главе мы приведем большое число примеров применения формулы Остроградского.

Величины суть функции, определенные на поверхности (S). Мы их считали непрерывными. Можно сделать более общее предположение, а именно считать, что (S) разбивается на конечное число кусков, на каждом из которых указанные функции непрерывны. Это будет, например, иметь место, если (S) есть многогранник.

При выводе формулы (31) мы предполагали, что прямые, параллельные оси , пересекают поверхность (S) области не более чем в двух точках. Нетрудно обобщить эту формулу и на области более общего вида. Заметим прежде всего, что если поверхность (S), кроме верхней части (II) и нижней части (I), имеет цилиндрическую боковую часть с образующими, параллельными оси , то на этой боковой части и добавление этой части к правой части формулы (31) не меняет величины интеграла по поверхности, так что все доказательство формулы остается справедливым. В более общем случае достаточно при помощи цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными оси , разбить на конечное число частей, удовлетворяющих предыдущим условиям, и применить к каждой части формулу (31). Складывая полученные таким образом формулы, будем иметь в левой части тройной интеграл по всему объему . В правой части будем иметь сумму интегралов по всем поверхностям тех частей, на которые мы разбили (v). Интегралы по приведенным вспомогательным цилиндрическим поверхностям, как указано выше, равны нулю. Таким образом в результате сложения в правой части мы будем иметь интеграл по поверхности (S) первоначального объема . Итак, формула (31) оказывается справедливой и для областей более общего вида.

Рис. 51.

Заметим, что эти рассуждения справедливы и для того случая, когда ограничено несколькими поверхностями: одной поверхностью извне и остальными изнутри. На рис. 51 изображен тот случай, когда ограничено двумя поверхностями. При этом в правой части (31) надо интегрировать по всем поверхностям, ограничивающим и направление будет на внутренних поверхностях направлено внутрь этих поверхностей [т. е. вовне ].