§ 24.6. Гармоническое колебание.
В тех случаях, когда возвращающей силой является равнодействующая силы упругости и силы тяжести, параметры ко лебательного движения можно связать с параметрами движения точки по окружности.
Рис. 24.5.
Чтобы найти эту связь, проделаем следующий опыт. Поставим перед экраном центробежную машину, а на ее диске поместим стержень с шариком
на конце (рис. 24.5). Направим свет так, чтобы на экране получилась резкая тень Т от шарика
Поместим между экраном и машиной маятник М так, чтобы его тень совпала с тенью шарика на экране. Если заставить маятник качаться в плоскости, параллельной экрану, то можно вращать диск с такой постоянной скоростью, что тени шарика
и маятника М на экране будут всё время совпадать. Это доказывает, что проекция шарика на экране совершает точно такое же колебательное движение, как и маятник М.
Таким образом, если точка совершает колебание с постоянными амплитудой А и периодом Т, то такое же. колебание совершает проекция точки, равномерно движущейся по окружности с радиусом А и периодом Т, на один из диаметров окружности. Это дает возможность изучать особенности колебаний с помощью движения проекции указанной выше точки по диаметру окружности.
выразить следующими формулами:
Колебания, которые описывают формулой (24.3), часто называют синусоидальными (или косинусоидальными). В физике такие колебания, при которых смещение подчиняется синусоидальному закону, называют гармоническими. В частности, колебания, которые происходят под действием только одной возвраиающей
пропорциональной смещению, являются гармоническими. Следовательно, когда возвращающая сила выражается формулой
а другие силы на точку не действуют, ее колебания будут гармоническими. (Знак минус означает, что и х направлены противоположно.)
Рис. 24.7.
Докажем это на примере собственных колебаний груза на пружине (рис. 24.8). Направим ось координат X по линии смещения груза, а за начало координат возьмем положение равновесия груза — точку О. Тогда координата х будет совпадать со смещением груза и с абсолютной деформацией пружины.
Рис. 24.8,
Поскольку сила упругости пружины пропорциональна ее абсолютной деформации (см. выражение (11.7а) в § 11.8), то возвращающая сила
соответствует формуле (24.7). Если не учитывать трение, то сила
будет равнодействующей сил, действующих на груз, и в соответствии с вторым законом Ньютона
где
— масса груза.
При движении вдоль оси х скорость
является производной координаты х по времени
а ускорение а — производной скорости по времени, т. е. второй производной координаты х по времени
Поэтому уравнение (24.8) можно записать в виде
Из курса математики известно, что вторая производная синуса и косинуса пропорциональна самой функции, взягсй с обратным знаком. Поэтому решение уравнения (24.9) следует искать в виде (24.3а):
. Первая производная координаты по времени будет равна
, а вторая производная
Подставим
в (24.9):
Отсюда
и
Таким образом, функция (24.3а) действительно является решением уравнения (24.9), т. е. собственные колебания под действием возвращающей силы вида (24.7) являются гармоническими, а их круговая частота
определяется выражением (24.10),