§ 24.6. Гармоническое колебание.

В тех случаях, когда возвращающей силой является равнодействующая силы упругости и силы тяжести, параметры ко лебательного движения можно связать с параметрами движения точки по окружности.

Рис. 24.5.

Чтобы найти эту связь, проделаем следующий опыт. Поставим перед экраном центробежную машину, а на ее диске поместим стержень с шариком на конце (рис. 24.5). Направим свет так, чтобы на экране получилась резкая тень Т от шарика Поместим между экраном и машиной маятник М так, чтобы его тень совпала с тенью шарика на экране. Если заставить маятник качаться в плоскости, параллельной экрану, то можно вращать диск с такой постоянной скоростью, что тени шарика и маятника М на экране будут всё время совпадать. Это доказывает, что проекция шарика на экране совершает точно такое же колебательное движение, как и маятник М.

Таким образом, если точка совершает колебание с постоянными амплитудой А и периодом Т, то такое же. колебание совершает проекция точки, равномерно движущейся по окружности с радиусом А и периодом Т, на один из диаметров окружности. Это дает возможность изучать особенности колебаний с помощью движения проекции указанной выше точки по диаметру окружности.

Допустим, что точка С на рис. 24.6 равномерно движется по окружности радиуса с угловой скоростью и совершает полный оборот за время Т. Тогда проекция точки С на прямую будет совершать колебания с амплитудой А и периодом Т. Отсчет времени будем вести от того момента, когда подвижный радиус занимает положение а колеблющаяся точка — положение О. Пусть за время радиус повернулся на угол тогда проекция его конца С переместится по прямой на расстояние

Рис. 24.6.

На окружности точками показаны положения конца подвижного радиуса через равные промежутки времени, а на прямой — положения колеблющейся точки в те же моменты времени.

Смещение х колеблющейся точки В от положения равновесия можно найти из треугольника

или

В этих формулах называют фазовым углом или фазой и выражают в радианах. Величину в применении к колебательному движению называют круговой или циклической частотой. Поскольку при равномерном движении точки по окружности угловая скорость выражается формулами

то для фазового угла получаем формулы

Из этих формул видно, что числовое значение фазы в радианах отличается от ее значения в долях периода только постоянным множителем

Отсчет времени можно производить от любого момента времени, например от момента положения точки С на рис. 24.7. В этом случае начальное положение этой, точки определяют углом который называют начальной фазой. Тогда фазу колебания можно

выразить следующими формулами:

Колебания, которые описывают формулой (24.3), часто называют синусоидальными (или косинусоидальными). В физике такие колебания, при которых смещение подчиняется синусоидальному закону, называют гармоническими. В частности, колебания, которые происходят под действием только одной возвраиающей пропорциональной смещению, являются гармоническими. Следовательно, когда возвращающая сила выражается формулой

а другие силы на точку не действуют, ее колебания будут гармоническими. (Знак минус означает, что и х направлены противоположно.)

Рис. 24.7.

Докажем это на примере собственных колебаний груза на пружине (рис. 24.8). Направим ось координат X по линии смещения груза, а за начало координат возьмем положение равновесия груза — точку О. Тогда координата х будет совпадать со смещением груза и с абсолютной деформацией пружины.

Рис. 24.8,

Поскольку сила упругости пружины пропорциональна ее абсолютной деформации (см. выражение (11.7а) в § 11.8), то возвращающая сила соответствует формуле (24.7). Если не учитывать трение, то сила будет равнодействующей сил, действующих на груз, и в соответствии с вторым законом Ньютона

где — масса груза.

При движении вдоль оси х скорость является производной координаты х по времени а ускорение а — производной скорости по времени, т. е. второй производной координаты х по времени Поэтому уравнение (24.8) можно записать в виде

Из курса математики известно, что вторая производная синуса и косинуса пропорциональна самой функции, взягсй с обратным знаком. Поэтому решение уравнения (24.9) следует искать в виде (24.3а): . Первая производная координаты по времени будет равна , а вторая производная Подставим в (24.9):

Отсюда и

Таким образом, функция (24.3а) действительно является решением уравнения (24.9), т. е. собственные колебания под действием возвращающей силы вида (24.7) являются гармоническими, а их круговая частота определяется выражением (24.10),