§ 24.8. Математический маятник.
Наблюдая за колебаниями маятников разной длины, легко заметить, что периоды их колебаний связаны с длиной маятников. Однако в случае реальных маятников не ясно, что следует считать длиной маятника. Например, перемещая диск маятника стенных часов вверх или вниз по стержню, можно изменять период его колебаний, хотя длина стержня маятника остается неизменной. Чтобы обойти эту трудность, сначала рассмотрим особенности колебания математического маятника, для которого вопрос о его длине ясен.
Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити. Маленький тяжелый шарик, например свинцовый, подвешенный на тонкой, длинной и нерастяжимой нити, является хорошей моделью математического маятника, на которой и изучают его свойства. Прежде всего выясним, можно ли считать колебания математического маятника гармоническими. Для этого надо установить, как связана возвращающая сила 
со смещением 
Рис. 24.11.
Пусть колеблющийся математический маятник (рис. 24.11) длиной 
занимает мгновенное положение 
Возвращающая сила 
ради а равнодействующей силы тяжести 
и силы упругости нити 
и направлена по касательной к дуге 
(если пренебречь центростремительной силой, необходимой для движения маятника по дуге). Из подобия треугольника, образованного силами 
и 
и 
имеем 
откуда
К положению равновесия маятник движется по дуге 
поэтому смещение х равно длине дуги 
Для малых углов а длина дуги 
приблизительно равна хорде 
, а длина дуги 
— половине хорды 
Поэтому для малых углов а можно считать, что
Знак минус поставлен потому, что х и 
всегда направлены противоположно друг другу.
Величины 
при колебаниях маятника в заданном месте Земли постоянны. Поэтому из (24.12) видно, что возвращающая сила
прямо пропорциональна смещению, т. е. выражается формулой 
где 
Напомним, что это верно, когда угол а достаточно мал. Отметим, что если 
наибольший угол отклонения маятника от положения равновесия, то угол 
называют углом размаха.