§ 4.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.

Вспомним, что давление газа на стенку сосуда обусловлено ударами молекул; Чем больше кинетическая энергия поступательного движения каждой молекулы, тем больше сила, возникающая при ее ударе о стенку. Кроме того, чем больше молекул в единице объема тем чаще они ударяются о стенку. Поэтому давление газа прямо пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа и их числу в единице объема:

Эту формулу можно вывести на основе молекулярно-кинетической теории. Формула (4.1) имеет очень большое значение и называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов.

Покажем, как получается формула (4.1). Возьмем сосуд в форме куба с ребром I. Допустим, что внутри куба в каждой единице объема Содержится одинаковых молекул газа. Так как молекулы движутся, то каждая из них обладает количеством движения (импульсом) (здесь — масса одной молекулы, — скорость ее движения). Будем считать удары молекул о стенку абсолютно упругими. Тогда, если молекула движется перпендикулярно к стенке сосуда (рис. 4.1), при ударе она сначала останавливается, т. е. теряет импульс а затем отскакивает от стенки и движется в противоположную сторону со скоростью —V, т. е. приобретает противоположно направленный импульс . Таким образом, изменение импульса молекулы в процессе удара равно а стенка получает такой же по модулю импульс

Рис. 4.1.

Пусть эта молекула беспрепятственно движется между левой и правой стенками куба. При каждом ударе она сообщает стенке импульс . В соответствии с вакоиамн механики средняя сила воздействия молекулы на стенку где — время движения молекулы от одной стенки до другой и обратно, т. е. поскольку молекула наносит стенке удары с таким промежутком времени. Следовательно,

Сила давления газа на стенку сосуда равна сумме сил ударов отдельных молекул об эту стенку:

где — общее число молекул, летающих между двумя противоположными стенками куба, — средняя квадратичная скорость молекул (§ 2.4).

Поскольку число молекул в единице объема равно суммарное число молекул в кубе равно . Из-за полной хаотичности движения молекул для каждой из них все направления движения равновероятны. Поэтому можно считать, что вдоль каждого из трех взаимно перпендикулярных направлений движется в среднем 1/3 общего числа молекул. Итак, при подсчете давления можно принять, что между двумя противоположвыми стенками куба по перпендикуляру к ним движется 1/3 общего числа молекул, Таким образом,

Поскольку , получаем Так как то окончательно имеем .