§ 36.7. Связь между массой и энергией. Уравнение Эйнштейна.

Из рассмотренного в предыдущем параграфе материала можно сделать вывод, что при сообщении телу кинетической энергии его масса увеличивается. Получается, что кинетической энергии соответствует определенная масса. Справедливо ли это в отношении других видов энергии?

Рис. 36.5.

Оказывается всякой энергии соответствует определенная масса. Так, при нагревании тела его масса несколько увеличивается. Излучение, испускаемое Солнцем, содержит энергию и поэтому имеет массу; Солнце и звезды при излучении теряют массу. Соотношение между массой и полной энергией выражает уравнение Эйнштейна

Из этого соотношения следует, что полная энергия тела пропорциональна его массе. У всех тел с потерей энергии уменьшается масса и, наоборот, с увеличением энергии увеличивается масса. Вообще всякое изменение энергии (частицы, тела, системы тел) в любой

ее форме на сопровождается пропорциональным изменением массы на в соответствии с формулой.

Так, если тело теряет энергию излучая электромагнитные волны, то его масса уменьшается на а тела, поглощающие излучение, приобретают энергию, и их масса растет.

Установленный теорией относительности принцип пропорциональности массы и энергии сыграл огромную роль в науке, особенно в атомной и ядерной физике. Формула (36.7) была многократно проверена на опытах и получила блестящее подтверждение. В дальнейшем мы увидим, как эту формулу используют при расчетах баланса энергии в ядерных реакциях и в объяснении явления аннигиляции частиц, т. е. их превращения в фотоны.

Интересно подсчитать, пользуясь формулой (36.7), как со временем изменяется масса Солнца. Чтобы подсчитать энергию, которую излучает Солнце в мировое пространство за 1 с, надо вычислить площадь сферы, описанной вокруг Солнца радиусом 150 млн. км, равным расстоянию от Солнца до Земли. Умножив эту площадь на солнечную постоянную, т. е. на энергию излучения, проходящего через этой поверхности за 1 с (§ 35.3), мы получим, что Солнце ежесекундно излучаег огромное количество энергии: Дж. Изменение массы, соответствующее этому излучению, по формуле (36.7) равно кг. Таким образом, масса Солнца ежесекундно уменьшается на .

Найдем выражение для кинетической энергии тела. Напишем уравнение Эйнштейна (36.6) для случая, когда тело покоится в выбранной системе отсчета:

Это соотношение показывает, что покоящееся тело обладает как бы скрытой энергией, или энергией покоя, которая всегда остается связанной с этим телом, пока оно существует. Электроны и атомы представляют собой пример гигантских скоплений энергии. Если тело (или частица) по какой-либо причине перестает существовать, то одновременно освобождается и его энергия Однако и эта энергия, и масса, переходят к другим телам или частицам, участвующим в этом явлении, а не исчезают бесследно.

Теперь представим, что тело пришло в движение со скоростью Тогда в соответствии с (36.4) масса тела увеличится и полная энергия движущегося тела будет больше его энергии в состоянии покоя Разность между полной энергией движущегося тела и его энергией покоя и будет равна кинетической энергии:

При малых значениях по сравнению с с это выражение для переходит в классическое. Чтобы убедиться в этом, используем (36.4):

Воспользуемся формулой разложения бинома Ньютона:

В нашем случае малая величина, поэтому третий член, содержащий и все остальные члены пренебрежимо малы, и мы можем ограничиться приближенной формулой:

Отсюда

что совпадает с известным выражением для кинетической энергии в классической механике.