63. Формула Лагранжа.
Положим, что функция 
непрерывна в промежутке 
и имеет внутри этого промежутка производную, но условие 
теоремы Ролля может быть не выполнено. Составим функцию
где 
— постоянная, которую мы определим так, чтобы новая функция 
удовлетворяла упомянутому условию теоремы Ролля, т. е. потребуем, чтобы
или
откуда
Применяя теперь к 
теорему Ролля, можем утверждать, что между а и b будет находиться такое значение 
при котором
откуда, подставляя найденное выше значение 
,
Последнее равенство можно переписать так:
Равенство это называется формулой Лагранжа. Значение с заключается между а и b, а потому отношение 
заключатся между нулем и единицей, и мы можем написать
и формула Лагранжа перепишется в виде:
Полагая 
получим еще следующий вид формулы:
Формула Лагранжа дает точное выражение для приращения 
функции 
, а потому называется также формулой конечных приращений.
Мы знаем, что производная постоянной равна нулю. Из формулы Лагранжа мы можем вывести обратное предложение: если производная 
во всех точках промежутка 
равна нулю, то функция 
постоянна в этом промеэюутке.
В самом деле, возьмем произвольное значение 
из промежутка 
и, применяя формулу Лагранжа к промежутку 
, получим:
но по условию 
и, следовательно,
Относительно величины с, входящей в формулу Лагранжа, мы знаем только то, что она заключается между а и 
и поэтому формула Лагранжа не дает возможности точного вычисления приращения функции через производную, но с ее помощью можно произвести оценку той ошибки, которую мы делаем, заменяя приращение функции ее дифференциалом.
Пример. Пусть
Производная
и формула Лагранжа даст
или
Заменяя приращение дифференциалом, получим приближенную формулу
Сравнивая это приближенное равенство с точным, полученным по формуле Лагранжа, увидим, что ошибка
Полагая 
, получим приближенное равенство
с ошибкой
Заменяя в числителе этой дроби 0 единицей, а в знаменателе нулем, 
дробь и можем поэтому сказать, что ошибка вычисленного значения 
меньше
Перепишем формулу Лагранжа в виде:
Обращаясь к графику функции y = f(x) (рис. 71), заметим, что отношение 
дает угловой коэффициент хорды АВ, 
дает угловой коэффициент касательной в некоторой точке М дуги А В кривой. Таким образом, формула Лагранжа равносильна следующему утверждению: на дуге кривой имеется такая точка, в которой касательная параллельна хорде. Частным случаем этого утверждения, когда хорда параллельна оси ОХ, т. е. 
является теорема Ролля.
Рис. 71,
Замечание. Из формулы Лагранжа непосредственно вытекают те признаки возрастания и убывания, которые были установлены нами выше из чертежа. Действительно, положим, что внутри некоторого промежутка первая производная f(х) положительна и пусть 
две точки из этого промежутка. Из формулы Лагранжа:
видно, что при положительных h разность, стоящая слева, будет величиной положительной, так как оба множителя в произведении, стоящем справа, в этом случае положительны. Таким образом, предполагая положительность производной в некотором промежутке, мы получили
т. е. функция возрастает в этом промежутке. Точно так же из написанной выше формулы непосредственно вытекает и признак убывания.
Заметим здесь же, что рассуждения, приведенные нами при доказательстве теоремы Ферма, остаются вполне применимыми и для того случая, когда в рассматриваемой точке функция достигает не обязательно наибольшего или наименьшего значения, а только лишь максимума или минимума. Эти рассуждения докажут, что в таких точках первая производная должна быть равна нулю, если она существует.
