ГЛАВА 10. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И НАПРАВЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ

10.1. ВОЛНЫ В ПЕРИОДИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ ЛИНИЯХ

10.1.1. Дисперсия

Линия передачи, нагруженная периодически расположенными последовательными или параллельными реактивными сопротивлениями, образует периодическую структуру, характеристики распространения которой отличаются [49] от характеристик исходной линии. Теория таких периодических структур, хорошо разработанная для многих областей науки [36], была распространена и на линии передачи СВЧ [60, 200, 281, 131]. Использование методов теории цепей позволяет получить качественную картину различных явлений, которая помогает провести строгий анализ с применением теории Максвелла.

Распространение вдоль передающей линии, нагруженной, как показано на рис. 10.1, можно исследовать, применив теорему Флоке [36, 281], которая утверждает, что для заданного типа колебаний и заданной частоты волновая функция при смещении вдоль системы на один период умножается на постоянный комплексный множитель Если распространение происходит вдоль оси то волновую функцию можно записать в общем случае в виде Можно показать, что в системе без поглощения энергии величина может быть либо чисто вещественной, либо чисто мнимой. В первом случае для каждого экспонента убывает с увеличением приводя к затуханию волн.

Во втором случае, положив

найдем, что волновая функция, после добавления множителя, описывающего временную зависимость, принимает вид Она

представляет собой бегущую волну с угловой частотой со и длиной распространяющуюся вдоль оси с фазовой скоростью

Такую нагруженную линию можно представить в виде последовательности секций, каждая из которых состоит из отрезка линии с волновым сопротивлением и сосредоточенного сопротивления Фазовый набег на секции равен сумме фазового набега на отрезке линии и скачка на сосредоточенном импедансе Уравнение, выражающее частотную характеристику такой бесконечной нагруженной линии, можно получить с помощью обычной теории лестничной линии [322]. Фазовый набег вдоль отрезка передающей линии равен в то время как полный фазовый набег на секцик равен что при дает

Рис. 10.1. Линия, нагруженная сосредоточенными импедансами.

Можно показать [200], что в этом случае уравнение, определяющее частотную характеристику, имеет вид

Для линии, нагруженной последовательными индуктивными сопротивлениями

Для случая на рис. 10.2 дан график решения уравнения (10.2), который показывает, что при возрастании со от нуля до значения, равного приблизительно возрастает от нуля до значения На этой частоте отражения от индуктивных нагрузок складываются в фазе, что приводит к образованию в линии стоячей волны, с пучностями, расположенными в местах включения этих нагрузок. Дальнейшее увеличение частоты приводит к появлению полосы непрозрачности, в которой волна в линии вслед ствие последовательных отражений от индуктивных сопротивлений становится затухающей, причем полный фазовый набег остается постоянным и равным При больших или меньших значениях кривые имеют аналогичный вид, отличаясь лишь тем, что участок, близко совпадающий с линией простирается соответственно до больших или меньших частот. Отметим, что при предельной частоте кривые всегда имеют нулевой наклон, а при нулевой частоте имеет место распространение.

Когда фазовый набег на каждом отрезке линии (исключая индуктивное сопротивление) становится равным , т. е. когда со достигает значения начинается вторая полоса прозрачности. На этой частоте фазового набега на индуктивном сопротивлении не происходит, и в линии образуется стоячая волна с узлами, приходящимися на эти сопротивления. При дальнейшем увеличении частоты постоянная распространения возрастает, пока фазовый набег на каждой секции линии не станет равным после чего наступает следующая полоса непрозрачности. С возрастанием частоты последовательные полосы непрозрачности становятся шире, так как меняется величина индуктивной нагрузки Очевидно, что фазовая скорость, равная будет меньше с, исключая случаи стоячих волн с узлами тока на индуктивных сопротивлениях, когда, как и следовало ожидать, она равиа этой величине.

Для линии, нагруженной последовательными емкостями С,

Для случая на рис. 10.3 дан график решения уравнения (10.2). Здесь также получается последовательность полос прозрачности и непрозрачности, однако в этом случае при возрастании частоты полосы непрозрачности становятся уже. Значение фазового набега на емкостных сопротивлениях таково, что фазовая скорость оказывается больше с, исключая случаи стоячей волны с узлами на этих сопротивлениях, когда она равна с. Из графика видно, что теперь у передающей системы имеется критическая частота, ниже которой распространение невозможно. Для других значений С общий вид кривых сохраняется, причем в случае больших значений они стремятся к линии а в случае меньших — к горизонтальным линиям, что соответствует отсутствию распространения. Дисперсионные кривые для случая последовательных емкостных нагрузок в силу принципа двойственности совпадают с кривыми для случая параллельных индуктивных нагрузок, 8 то время как кривые для параллельных емкостных нагрузок одинаковы с приведенными выше кривыми для последовательных индуктивных нагрузок.

Часто линии передачи сверхвысоких частот нагружаются резонансными элементами, например последовательно включенными шлейфами. Если I — длина шлейфа, его волновое сопротивление, то сопротивление нагрузки будет равно

Уравнение, определяющее дисперсионную кривую, будет иметь вид

(кликните для просмотра скана)

Анализ можно упростить, не влияя на качественную сторону дела, если положить что сведет уравнение (10.6) к более простому виду:

На рис. 10.4 дан график решения этого уравнения при

На низких частотах нагрузка имеет индуктивный характер; а увеличение со приводит к критической частоте при когда возникает стоячая волна с пучностями на шлейфах. Критическая частота ниже минимальной, т. е. первой резонансной частоты реактивной нагрузки. Этот первый резонанс имеет место, когда эффективная длина шлейфа равна что приводит к бесконечному затуханию в основном волноводе.

Рис. 10. 4. Дисперсионная характеристика плоско-параллельного волновода, нагруженного шлейфами. (См. [200].)

В промежутке между критической частотой и частотой, на которой длина шлейфа равна фазовый набег на каждой секции волновода остается равным .

При переходе через резонансную частоту характер реактивной нагрузки меняется: из индуктивной она превращается в емкостную и фазовый набег на секции изменяется на величину . Получившийся нулевой фазовый набег остается постоянным до тех пор пока не будет достигнута следующая полоса прозрачности. В начале этой полосы нагрузки становятся емкостными и соответственно меняются частотные характеристики. Когда эффективная длина шлейфа делается равной снова имеет место резонанс с узлами электрического поля на отверстиях резонаторов и При дальнейшем увеличении частоты нагрузки становятся индуктивными и на частоте, при которой длина шлейфов равняется имеет место отсечка. Такая же картина повторяется при всех резонансных значениях длин шлейфов, равных где положительные целые числа. На частотах, при которых эффективная длина

шлейфов равняется емкостные нагрузки делаются индуктивными и

Другие отсечки имеют место на частотах Связанные с этими критическими частотами полосы непрозрачности аналогичны полосам, получившимся с чисто индуктивными или емкостными нагрузками. Здесь в шлейфах никакого резонанса не происходит, и фазовый набег на секции волновода на протяжении всей полосы непрозрачности остается постоянным. По обе стороны полосы непрозрачности расположены полосы прозрачности, которые имеют одновременно либо индуктивный, либо емкостный характер. В первом случае, частоты определяют нижние граничные частоты полос прозрачности, а во втором — верхние. Например, если то первый резонанс шлейфа имеет место при Из дисперсионной кривой можно видеть, что ниже этой частоты при и при расположены полосы непрозрачности индуктивного характера.

Фазовая скорость соответствующая точке Р на дисперсионной кривой, определяется наклоном прямой, соединяющей эту точку с началом координат. Групповая скорость определяется наклоном касательной к дисперсионной кривой в этой точке. Поскольку коэффициент затухания не слишком велик, дает также скорость переноса энергии [36], определяемую как усредненное по всей секции волновода отношение величины потока энергии через поперечное сечение волновода к энергии, запасенной на единице длины. Если означает добротность при резонансе отрезка нагруженной линии, короткозамкнутого с обоих концов, то затухание в полосах прозрачности будет равно [281]:

Используемая в практических устройствах ширина полосы периодической структуры может ограничиваться ее дисперсией, т. е. зависимостью фазовой скорости от частоты, которая определяется выражением

Затухание в полосах непрозрачности можно найти [200], если в уравнение вместо подставить Затухание в неперах на секцию определяется из соотношения

Затухание равно нулю на краях резонансных полос непрозрачности и бесконечно в их середине, но оно остается конечным в индуктивных и емкостных полосах непрозрачности. В проведенном выше анализе частотных характеристик полагалось, что потери в системе очень малы, а при приближении к краю полосы прозрачности уравнение (10.8) дает бесконечное затухание. Эти недостатки были

устранены Батчером [45], который учел влияние потерь как в проводниках, так и в диэлектрике с помощью комплексного который можно использовать как в полосах прозрачности, так и в полосах непрозрачности.