10.1.2. Пространственные гармоники

До сих пор рассматривались частотные характеристики для случая, когда в уравнении (10.1) полагалось т. е. при фиксированной частоте имелось лишь одно явное значение фазовой скорости. Однако мгновенное распределение потенциала вдоль волновода не является синусоидальным, а изменяется на нагрузках скачкообразно и с помощью гармонического анализа может быть представлено в виде суммы ряда пространственных гармоник. Амплитуды этих гармоник зависят от конфигурации поля, которая в свою очередь зависит от параметров периодической структуры. Например, для волны, распространяющейся в плоско-параллельном волноводе со шлейфами шириной в предположении, что напряженность электрического поля в отверстиях шлейфов постоянна, распределение потенциала будет иметь вид [200]:

При равном из уравнения (10.1) получается

На рис. 10.5, а изображены гармоники, соответствующие

На рис. 10.5, б сплошными линиями изображены частотные характеристики структуры, периодически нагруженной шлейфами, которые включают все пространственные гармоники от до Из рисунка видно, что фазовые скорости гармоник различны, причем для скорость положительна, а для -отрицательна. На критической частоте каждой пространственной гармонике с положительной фазовой скоростью соответствует гармоника с равной по величине отрицательной фазовой скоростью. Дальнейший анализ показывает, что амплитуды этих пар также равны и, таким образом, на критической частоте в волноводе могут существовать лишь стоячие волны. Если означает фазовую скорость в точке то из геометрического рассмотрения следует, что фазовые скорости в соответствующих точках определяются выражением

Нетрудно показать, что для фиксированной частоты все пространственные гармоники имеют одинаковую групповую скорость, совпадающую с направлением потока энергии. Для отрицательных фазовые скорости всегда направлены противоположно групповой

скорости. Такие пространственные гармоники называются обратными волнами, и, в частности, возможны периодические структуры, в которых основная волна сама является обратной. Полная частотная характеристика содержит верхние ветви, соответствующие резонансам шлейфов. Употребляются два способа нумерации этих ветвей. При первом за основную волну принимается пространственная гармоника с наибольшей фазовой скоростью, а при втором, который мы и будем применять, основной волной считается гармоника, которая в нормальных условиях имеет наибольшую амплитуду.

Рис. 10. 5. Прямые и обратные пространственные гармоники: а — шлейфовая структура и волны пространственных гармоник с ; б - дисперсионные характеристики для пространственных гармоник с до включительно. (См. [200].)

Во втором случае при уменьшении нагрузок, создающих периодическую структуру, частотные характеристики будут приближаться к характеристикам исходной линии передачи.

Если электромагнитная энергия распространяется в обоих направлениях, то, как показано на рис. пунктирными линиями, частотные характеристики будут дополнены участками, представляющими волны с отрицательной групповой скоростью. Если потоки энергии в обоих направлениях равны, то не только на критических, но и на любых частотах образуются стоячие волны. Анализ, проделанный для плоско-параллельного волновода, может быть распространен и на обычные волноводы. В этом случае волновое сопротивление для каждого вида волн определяется как отношение

поперечных составляющих электрического и магнитного полей. Частотные характеристики будут аналогичны приведенным выше, за исключением области низких частот, где волновод имеет критическую частоту.

Можно показать [200], что продольная и поперечная компоненты электрического поля в основном волноводе колеблются в квадратуре. Для емкостных нагрузок, у которых амплитуды этих компонент изменяются в поперечном направлении пропорционально соответственно синусу и косинусу. Для индуктивных нагрузок, у которых постоянная распространения в поперечном направлении вещественна и амплитуды убывают пропорционально соответственно гиперболическому синусу и гиперболическому косинусу; при удалении от нагруженной поверхности эти зависимости переходят в экспоненциальные.