§ 23. Линейный осциллятор

Рассмотрим частицу, совершающую одномерные малые колебания (так называемый линейный осциллятор). Потенциальная энергия такой частицы равна где — в классической механике собственная частота колебаний. Соответственно этому, гамильтониан осциллятора

Поскольку потенциальная энергия обращается в бесконечность при , то частица может совершать лишь финитное движение. В соответствии с этим весь энергетический спектр осциллятора будет дискретным.

Определим уровни энергии осциллятора с помощью матричного метода. Будем исходить из уравнений движения в форме (19,3); в данном случае они дают

В матричном виде это уравнение гласит:

Для матричных элементов ускорения имеем, согласно (11,8) , поэтому получаем

Отсюда видно, что равны нулю все матричные элементы за исключением тех, для которых Пронумеруем все стационарные состояния таким образом, чтобы частоты соответствовали переходам . Тогда отличными от нуля матричными элементами будут лишь Будем предполагать, что волновые функции выбраны вещественными. Поскольку есть величина вещественная, то такими же будут и все матричные элементы Условие эрмитовости (11,10) приводит теперь к тому, что матрица симметрична:

Для вычисления отличных от нуля матричных элементов координаты воспользуемся правилом коммутации

написав его в матричном виде

С помощью правила умножения матриц (11,12) имеем отсюда для

В этой сумме отличны от нуля только члены с что получаем

Из этого равенства заключаем, что величины образуют арифметическую прогрессию, неограниченную сверху, но непременно ограниченную снизу, так как в ней могут содержаться только положительные члены. Поскольку мы пока установили только относительное расположение номеров состояний , но не их абсолютные значения, то мы можем произвольно выбрать значение , соответствующее первому — нормальному — состоянию осциллятора. Положим его равным нулю. Соответственно этому, надо считать тождественно равным нулю, и последовательное применение уравнений (23,3) с приводит к результату;

Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для отличчых от нуля матричных элементов координаты

Матрица оператора Н диагональна и матричные элементы представляют собой искомые собственные значения энергии осциллятора. Для их вычисления пишем

В сумме по I отличны от нуля только члены с ; подставляя (23,4), получаем

Таким образом, уровни энергии осциллятора расположены через равные интервалы . Энергия нормального состояния равна ; подчеркнем, что она оказывается отличной от нуля.

Результат (23,5) можно получить и путем решения уравнения Шредингера. Это уравнение для осциллятора имеет вид

Здесь удобно ввести вместо координаты х безразмерную переменную согласно соотношению

Тогда получим уравнение

(Здесь штрих означает дифференцирование по )

При больших можно опустить по сравнению с уравнение имеет асимптотические интегралы (Дифференцирование этой функции действительно дает, при пренебрежении членами более низкого порядка по ) Поскольку волновая функция должна оставаться при конечной, то в показателе должен быть выбран знак минус. В связи с этим естественно сделать в уравнении (23,8) подстановку

Для функции получаем уравнение (вводим обозначение поскольку нам заранее известно, что , то

(23,10)

причем функция должна быть конечной при всех конечных , а при может обращаться в бесконечность не быстрее конечной степени (так, чтобы функция обращалась в нуль).

Такие решения уравнения (23,10) существуют лишь при целых положительных (включая значение нуль) значениях числа (см. § а математических дополнений); это дает для энергии известные уже нам собственные значения (23,5). Соответствующие различным целым значениям решения уравнения (23,10) имеют вид

где — так называемые полиномы Эрмита, представляющие собой полиномы степени по , определяемые формулой

(23,11)

Определяя const так, чтобы функции удовлетворяли условию нормировки

получим (см. (а, 7))

Так, волновая функция нормального состояния есть

Как и следовало быть, она не имеет нулей при конечных х.

Вычисляя интегралы можно определить матричные элементы координаты; такое вычисление приводит, разумеется, к тем же значениям (23,4).

В заключение покажем, каким образом можно вычислить волновые функции матричным методом. Замечаем, что в матрицах операторов отличны от нуля только элементы

(23,14)

Исходя из общей формулы (11,11) и учитывая, что заключаем, что

После подстановки выражения получаем отсюда уравнение

нормированное решение которого есть (23,13). Далее, поскольку

получаем рекуррентную формулу

n-кратное применение которой к функции (23,13) приводит к выражению (23,12) для нормированных функций .

Задачи

1. Определить распределение вероятностей различных значений импульса для осциллятора.

Решение. Вместо того чтобы разлагать волновую функцию стационарного состояния по собственным функциям импульса, в случае осциллятора проще исходить непосредственно из уравнения Шредингера в импульсном представлении. Подставляя в (23,1) оператор координаты (15,12) , получим гамильтониан в импульсном представлении

Соответствующее уравнение Шредингера на для волновой функции в импульсном представлении

Это уравнение — в точности такого же вида, как и (23,6); поэтому его решения могут быть написаны непосредственно по аналогии с (23,12). Таким образом, находим искомое распределение вероятностей в виде

2. Определить нижний предел для возможных значений энергии осциллятора с помощью соотношения неопределенности (16,7).

Решение. Замечая, что и используя (16,7), имеем для среднего значения энергии осциллятора

Найдя минимальное значение этого выражения (как функция от ), получим нижний предел для средних, а потому и для всех вообще возможных значений энергии:

3. Найти волновые функции состояний линейного осциллятора, минимизирующих соотношение неопределенностей, т. е. состояний, в которых средние квадратичные флуктуации координаты и импульса в волновом пакете связаны равенством (Е. Schrodtnger, 1926) .

Решение. Искомые волновые функции должны иметь вид

Их координатная зависимость в каждый данный момент времени соответствует формуле (16,8), причем — средние значения координаты и импульса; согласно (19,3) для линейного осциллятора

имеем а потому и для средних значений или

т. е. функция удовлетворяет классическому уравнению движения. Постоянный коэффициент в (1) определяется условием нормировки помимо этого множителя Р может содержать еще фазовый множитель с зависящей от времени фазой Неизвестные постоянная и функция определяются подстановкой (1) в волновое уравнение

С учетом (2) подстановка дает

Отсюда находим и затем

Таким образом, окончательно

При эта функция переходит в — волновую функцию основного состояния осциллятора.

Средняя энергия осциллятора в когерентном состоянии

введенная здесь величина есть среднее «число квантов» в данном состоянии. Мы видим, что когерентное состояние полностью определяется заданием той или иной зависимости удовлетворяющей классическому уравнению (2), Общий вид такой зависимости можно записать в виде

Функция (3) может быть разложена по волновым функциям стационарных состояний осциллятора

Коэффициенты этого разложения

Отсюда вероятность осциллятору находиться в состоянии

т. е. дается известным распределением Пуассона.

4. Определить уровни энергии для частицы, движущейся в поле с потен циальной энергией

(рис. 3, Ph. Morse, 1929).

Решение. Спектр положительных собственных значений энергий — непрерывен (причем уровни не вырождены), а спектр отрицательных значений — дискретен.

Рис. 3

Уравнение Шредингера гласит:

Вводим новую переменную

(пробегающую значения от 0 до ) и обозначения (рассматриваем дискретный спектр, так что

Тогда уравнение Шредингера приобретает вид

При функция ведет себя асимптотически как а при функция пропорциональна Из соображений конечности должно быть выбрано решение, ведущее себя как при и как при . Делаем подстановку

и получаем для w уравнение

которое должно быть решено при условиях: w конечно при а при обращается в бесконечность не быстрее конечной степени .

Уравнение (2) есть уравнение вырожденной гипергеометрической функции (см. § d математических дополнений)

Решение, удовлетворяющее требуемому условию, получается при целом неотрицательном (причем функция F сводится к полиному). Согласно определениям (1) получаем, следовательно, для уровней энергии значения

где пробегает целые положительные значения, начиная от нуля и до наибольшего значения, при котором еще

(так что параметр s, в соответствии с его определением, положителен). Таким образом, дискретный спектр содержит ограниченный ряд уровней. Если

то дискретный спектр вообще отсутствует.

Рис. 4

5. То же при (рис. 4).

Решение. Спектр положительнык энергий непрерывен, а отрицательных — дискретен; рассматриваем последний. Уравнение Шредингера

Делаем замену переменной и, вводя обозначения

получаем

Это — уравнение обобщенных функций Лежандра. Приводим его к гипергеометрическому виду подстановкой

и временной заменой переменной

Решение, конечное при (т. е. при ), есть

Для того чтобы оставалось конечным и при (т. е. при ), должно быть , где (тогда F есть полином степени , конечный при

Таким образом, уровни энергии определяются условием откуда

Имеется конечное число уровней, определяемое условием .