Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 23. Линейный осциллятор

Рассмотрим частицу, совершающую одномерные малые колебания (так называемый линейный осциллятор). Потенциальная энергия такой частицы равна где — в классической механике собственная частота колебаний. Соответственно этому, гамильтониан осциллятора

Поскольку потенциальная энергия обращается в бесконечность при , то частица может совершать лишь финитное движение. В соответствии с этим весь энергетический спектр осциллятора будет дискретным.

Определим уровни энергии осциллятора с помощью матричного метода. Будем исходить из уравнений движения в форме (19,3); в данном случае они дают

В матричном виде это уравнение гласит:

Для матричных элементов ускорения имеем, согласно (11,8) , поэтому получаем

Отсюда видно, что равны нулю все матричные элементы за исключением тех, для которых Пронумеруем все стационарные состояния таким образом, чтобы частоты соответствовали переходам . Тогда отличными от нуля матричными элементами будут лишь Будем предполагать, что волновые функции выбраны вещественными. Поскольку есть величина вещественная, то такими же будут и все матричные элементы Условие эрмитовости (11,10) приводит теперь к тому, что матрица симметрична:

Для вычисления отличных от нуля матричных элементов координаты воспользуемся правилом коммутации

написав его в матричном виде

С помощью правила умножения матриц (11,12) имеем отсюда для

В этой сумме отличны от нуля только члены с что получаем

Из этого равенства заключаем, что величины образуют арифметическую прогрессию, неограниченную сверху, но непременно ограниченную снизу, так как в ней могут содержаться только положительные члены. Поскольку мы пока установили только относительное расположение номеров состояний , но не их абсолютные значения, то мы можем произвольно выбрать значение , соответствующее первому — нормальному — состоянию осциллятора. Положим его равным нулю. Соответственно этому, надо считать тождественно равным нулю, и последовательное применение уравнений (23,3) с приводит к результату;

Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для отличчых от нуля матричных элементов координаты

Матрица оператора Н диагональна и матричные элементы представляют собой искомые собственные значения энергии осциллятора. Для их вычисления пишем

В сумме по I отличны от нуля только члены с ; подставляя (23,4), получаем

Таким образом, уровни энергии осциллятора расположены через равные интервалы . Энергия нормального состояния равна ; подчеркнем, что она оказывается отличной от нуля.

Результат (23,5) можно получить и путем решения уравнения Шредингера. Это уравнение для осциллятора имеет вид

Здесь удобно ввести вместо координаты х безразмерную переменную согласно соотношению

Тогда получим уравнение

(Здесь штрих означает дифференцирование по )

При больших можно опустить по сравнению с уравнение имеет асимптотические интегралы (Дифференцирование этой функции действительно дает, при пренебрежении членами более низкого порядка по ) Поскольку волновая функция должна оставаться при конечной, то в показателе должен быть выбран знак минус. В связи с этим естественно сделать в уравнении (23,8) подстановку

Для функции получаем уравнение (вводим обозначение поскольку нам заранее известно, что , то

(23,10)

причем функция должна быть конечной при всех конечных , а при может обращаться в бесконечность не быстрее конечной степени (так, чтобы функция обращалась в нуль).

Такие решения уравнения (23,10) существуют лишь при целых положительных (включая значение нуль) значениях числа (см. § а математических дополнений); это дает для энергии известные уже нам собственные значения (23,5). Соответствующие различным целым значениям решения уравнения (23,10) имеют вид

где — так называемые полиномы Эрмита, представляющие собой полиномы степени по , определяемые формулой

(23,11)

Определяя const так, чтобы функции удовлетворяли условию нормировки

получим (см. (а, 7))

Так, волновая функция нормального состояния есть

Как и следовало быть, она не имеет нулей при конечных х.

Вычисляя интегралы можно определить матричные элементы координаты; такое вычисление приводит, разумеется, к тем же значениям (23,4).

В заключение покажем, каким образом можно вычислить волновые функции матричным методом. Замечаем, что в матрицах операторов отличны от нуля только элементы

(23,14)

Исходя из общей формулы (11,11) и учитывая, что заключаем, что

После подстановки выражения получаем отсюда уравнение

нормированное решение которого есть (23,13). Далее, поскольку

получаем рекуррентную формулу

n-кратное применение которой к функции (23,13) приводит к выражению (23,12) для нормированных функций .

Задачи

1. Определить распределение вероятностей различных значений импульса для осциллятора.

Решение. Вместо того чтобы разлагать волновую функцию стационарного состояния по собственным функциям импульса, в случае осциллятора проще исходить непосредственно из уравнения Шредингера в импульсном представлении. Подставляя в (23,1) оператор координаты (15,12) , получим гамильтониан в импульсном представлении

Соответствующее уравнение Шредингера на для волновой функции в импульсном представлении

Это уравнение — в точности такого же вида, как и (23,6); поэтому его решения могут быть написаны непосредственно по аналогии с (23,12). Таким образом, находим искомое распределение вероятностей в виде

2. Определить нижний предел для возможных значений энергии осциллятора с помощью соотношения неопределенности (16,7).

Решение. Замечая, что и используя (16,7), имеем для среднего значения энергии осциллятора

Найдя минимальное значение этого выражения (как функция от ), получим нижний предел для средних, а потому и для всех вообще возможных значений энергии:

3. Найти волновые функции состояний линейного осциллятора, минимизирующих соотношение неопределенностей, т. е. состояний, в которых средние квадратичные флуктуации координаты и импульса в волновом пакете связаны равенством (Е. Schrodtnger, 1926) .

Решение. Искомые волновые функции должны иметь вид

Их координатная зависимость в каждый данный момент времени соответствует формуле (16,8), причем средние значения координаты и импульса; согласно (19,3) для линейного осциллятора

имеем а потому и для средних значений или

т. е. функция удовлетворяет классическому уравнению движения. Постоянный коэффициент в (1) определяется условием нормировки помимо этого множителя Р может содержать еще фазовый множитель с зависящей от времени фазой Неизвестные постоянная и функция определяются подстановкой (1) в волновое уравнение

С учетом (2) подстановка дает

Отсюда находим и затем

Таким образом, окончательно

При эта функция переходит в волновую функцию основного состояния осциллятора.

Средняя энергия осциллятора в когерентном состоянии

введенная здесь величина есть среднее «число квантов» в данном состоянии. Мы видим, что когерентное состояние полностью определяется заданием той или иной зависимости удовлетворяющей классическому уравнению (2), Общий вид такой зависимости можно записать в виде

Функция (3) может быть разложена по волновым функциям стационарных состояний осциллятора

Коэффициенты этого разложения

Отсюда вероятность осциллятору находиться в состоянии

т. е. дается известным распределением Пуассона.

4. Определить уровни энергии для частицы, движущейся в поле с потен циальной энергией

(рис. 3, Ph. Morse, 1929).

Решение. Спектр положительных собственных значений энергий — непрерывен (причем уровни не вырождены), а спектр отрицательных значений — дискретен.

Рис. 3

Уравнение Шредингера гласит:

Вводим новую переменную

(пробегающую значения от 0 до ) и обозначения (рассматриваем дискретный спектр, так что

Тогда уравнение Шредингера приобретает вид

При функция ведет себя асимптотически как а при функция пропорциональна Из соображений конечности должно быть выбрано решение, ведущее себя как при и как при . Делаем подстановку

и получаем для w уравнение

которое должно быть решено при условиях: w конечно при а при обращается в бесконечность не быстрее конечной степени .

Уравнение (2) есть уравнение вырожденной гипергеометрической функции (см. § d математических дополнений)

Решение, удовлетворяющее требуемому условию, получается при целом неотрицательном (причем функция F сводится к полиному). Согласно определениям (1) получаем, следовательно, для уровней энергии значения

где пробегает целые положительные значения, начиная от нуля и до наибольшего значения, при котором еще

(так что параметр s, в соответствии с его определением, положителен). Таким образом, дискретный спектр содержит ограниченный ряд уровней. Если

то дискретный спектр вообще отсутствует.

Рис. 4

5. То же при (рис. 4).

Решение. Спектр положительнык энергий непрерывен, а отрицательных — дискретен; рассматриваем последний. Уравнение Шредингера

Делаем замену переменной и, вводя обозначения

получаем

Это — уравнение обобщенных функций Лежандра. Приводим его к гипергеометрическому виду подстановкой

и временной заменой переменной

Решение, конечное при (т. е. при ), есть

Для того чтобы оставалось конечным и при (т. е. при ), должно быть , где (тогда F есть полином степени , конечный при

Таким образом, уровни энергии определяются условием откуда

Имеется конечное число уровней, определяемое условием .

1
Оглавление
email@scask.ru