§ 4. Признак Даламбера

Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами

отношение члена к при имеет (конечный) предел I, т. е.

то:

1) ряд сходится в случае

2) ряд расходится в случае

(случае ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.)

Доказательство. 1) Пусть К 1. Рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению (рис. 358).

Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех значений , начиная с некоторого номера N, т. е. для будет иметь место неравенство

Действительно, так как величина стремится к пределу , то разность между величиной ±1 и числом I может быть сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положительного числа, в частности, меньше , т. е.

Рис. 358.

Из последнего неравенства и следует неравенство (2). Записывая неравенство (2) для различных значений , начиная с номера N, получим

Рассмотрим теперь два ряда

Ряд (1) есть геометрическая прогрессия с положительным знаменателем Следовательно, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с меньше членов ряда . На основании теоремы 1 § 3 и теоремы 1 § 1 следует, что ряд (1) сходится.

2) Пусть Тогда из равенства (где ) следует, что, начиная с некоторого номера N, т. е. для будет имет место неравенство

(рис. 359), или для всех Но это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится.

Рис. 359.

Замечание 1. Ряд будет расходиться и в том случае, когда . Это следует из того, что если , то, начиная с некоторого номера будет иметь место неравенство

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Здесь

Следовательно,

Ряд сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Здесь

Ряд расходится, причем его общий член стремится к бесконечности.

Замечание 2. Признак Даламбера дает ответ на вопрос о том, сходится ли данный положительный ряд, только в том случае, когда существует и отличен от 1. Если же этот предел не существует или существует, но то признак Даламбера не дает возможности установить, сходится ряд или расходится, так как в этом случае ряд может оказаться и сходящимся и расходящимся. Для решения вопроса о сходимости таких рядов надо применить какой-либо другой признак.

Замечание 3. Если но отношение для всех номеров начиная с некоторого, больше единицы, то ряд

расходится. Это следует из того, что если то и общий член не стремится к нулю при

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие сказанное.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Здесь

В данном случае ряд расходится так как для всех

Пример 4. Применяя признак Даламбера к гармоническому ряду что и, следовательно, . Значит, на основании признака Даламбера

нельзя установить сходимость или расходимость данного ряда. Но ранее мы установили другим путем, что гармонический ряд расходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Здесь

На основании признака Даламбера сделать заключения о сходимости ряда нельзя, однако, исходя из других соображений, можно установить, что этот ряд сходится. Заметив, что мы можем записать данный ряд в виде

Частичная сумма первых членов после раскрытия скобок и сокращения будет равна

т. e. ряд сходится и его сумма равна 1.