§ 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

144. Определение функций Бесселя.

Мы впервые встретились с функциями Бесселя при решении задачи о колебании круглой мембраны [II, 178]. Формулируем те результаты, которые были там получены, устанавливая связь между волновым уравнением и функциями Бесселя.

Волновое уравнение в плоском случае имеет вид

Разбирая колебание круглой мембраны, мы ввели полярные координаты на плоскости

и нашли те решения уравнения (1), которые представляются в виде произведения трех функций, из которых одна зависит от другая — от и третья — от Такие решения имеют следующую форму:

где — произвольные постоянные, а постоянные со, k и а должны быть связаны соотношением

Через в предыдущей формуле мы обозначаем любое решение уравнения Бесселя

Заметим еще, что постоянная в выражении (2) может также иметь любое значение. Мы ее брали равной целому числу, поскольку хотели получить решение, обладающее периодом по отношению к переменной . Кроме того, желая получить решение, которое остается конечным при мы брали за то решение уравнения (4), которое остается конечным при т. е. решение которое представляет собою функцию Бесселя. Значение постоянной а вместе с тем в силу (3) и постоянной со, определялось из предельного условия. В дальнейшем будем иметь еще применение функций Бесселя. В настоящее время займемся изучением свойств функций, определяемых уравнением (4), и начнем с изучения функции Бесселя, о которой говорилось выше.

Функция Бесселя с точностью до постоянного множителя определяется разложением вида [II, 48]

Если есть целое положительное число или нуль, то мы выбирали постоянный множитель С равным причем, как всегда, . Таким образом, для функции Бесселя с целым положительным значком мы имели выражение вида

Если не есть целое число, то в формуле (5) принимаем постоянный множитель С равным

и, таким образом, придем к следующему выражению для функции Бесселя:

или, в силу основного свойства функции

Можно показать, что функция Бесселя с целым отрицательным значком лишь постоянным множителем отличается от функции Бесселя с таким же целым, но положительным значком.

Если отлично от целого числа, то функции дают, очевидно, два линейно независимых решения уравнения Бесселя [II, 48]. Ряд (7) сходится, как мы это видели, при всех конечных значениях .