§ 23. Уравнение Бесселя

Уравнением Бесселя называется дифференциальное уравнение вида

Решение этот уравнения, как и некоторых других уравнений с переменными коэффициентами, следует искать не в форме степенного ряда, а в виде произведения некоторой степени на степенной ряд:

Коэффициент мы можем считать отличным от нуля ввиду неопределенности показателя .

Перепишем выражение (2) в виде

и найдем его производные:

Подставим эха выражения уравнение

Приравнивая лулю коэффициенты при в степени получаем систему уравнений

Рассмотрим равенство

Его можно переписать так:

По условию следовательно,

поэтому или

Рассмотрим сначала решение в случае

Из системы уравнений (3) последовательно определяются все коэффициенты остается произвольным, (Положим, например, Тогда

Придавая различные значения найдем

Подставляя найденные коэффициенты в формулу (2), получим

Все коэффициенты определятся, так как при всяком k коэффициент при в уравнении (3)

будет отличен от нуля.

Таким образом, является частным решением уравнения (I). Установим далее условия, при которых и при втором корне определятся все коэффициенты . Это будет, если при любом целом четном положительном k выполняются неравенства

или

Но следовательно,

Таким образом, условие (6) в этом случае эквивалентно следующему:

где - целое четное положительное число. Но

следовательно,

Таким образом, если не равно целому числу, то можно написать второе частное решение, которое получается из выражения (5) заменой на :

Степенные ряды (5) и (5) сходятся при всех значениях что легко обнаружить на основании признака Даламбера. Также очевидно, что линейно независимы.

Решение умноженное на некоторую постоянную, называется функцией Бесселя первого рода порядка и обозначается символом Решение обозначают символом

Таким образом, при , не равном целому числу, общее решение уравнения (1) имеет вид

Так, например, при ряд (5) будет иметь вид

Это решение, умноженное на постоянный множитель называется бесселевой функцией заметим, что в скобках стоит ряд, сумма которого равна Следовательно,

Точно так же, пользуясь формулой (5), получим

Общий интеграл уравнения (1) при будет

Пусть, далее, есть целое число, которое обозначим через Решение (5) в этом случае будет иметь смысл и является первым частным решением уравнения (1).

Но решение (5) не будет иметь смысла, так как один из множителей знаменателя в разложении обратится в нуль.

При целом положительном бесселева функция определяется рядом (5), умноженным на постоянный множитель при умноженным на 1):

или

Можно показать, что второе частное решение в этом случае нужно искать в форме

Подставляя это выражение в уравнение), мы определим коэффициенты

Функция с определенными таким образом коэффициентами, умноженная на некоторую постоянную, называется функцией Бесселя второго рода порядка.

Это есть второе решение уравнения (1), образующее с первым линейно независимую систему.

Общий интеграл будет иметь вид

Отметим, что

Следовательно, если мы хотим рассматривать конечные решения при , то в формуле (8) мы должны положить

Пример. Найти решение уравнения Бесселя при

удовлетворяющее начальным условиям: при

Решение. На основании формулы (7) находим одно частное решение:

Пользуясь этим решением, можно написать решение удовлетворяющее данным начальным условиям, а именно:

Замечание. Если бы нам нужно было найти общий интеграл данного уравнения, то мы стали бы искать второе частное решение в форме

Не приводят всех вычислений, укажем, что. второе частное решение, которое мы обозначим имеет вид

Эта функция, умноженная на некоторый постоянный множитель, называется функцией Бесселя второго рода нулевого порядка,