2.8. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Между сигналом s(t) и его спектром существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектра. Из многочисленных возможных преобразований сигнала рассмотрим следующие наиболее важные и часто встречающиеся: сдвиг сигнала во времени, изменение масштаба времени, сдвиг спектра сигнала по частоте, дифференцирование и интегрирование сигнала. Кроме того, будут рассмотрены сложение сигналов, произведение и свертка двух сигналов, а также свойства взаимной обратимости со и t в преобразованиях Фурье.

1. СДВИГ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕНИ

Пусть сигнал произвольной формы существует на интервале времени от до и обладает спектральной плотностью . При задержке этого сигнала на время (при сохранении его формы) получим новую функцию времени

существующую на интервале от до .

Спектральная плотность сигнала в соответствии с (2.48)

Вводя новую переменную интегрирования получаем

Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции на приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину . Очевидно и обратное положение: если всем составляющим спектра функции дать фазовый сдвиг линейно-связанный с частотой , то функция сдвигается во времени на .

Амплитудно-частотная характеристика спектра (т. е. модуль спектральной плотности) от положения сигнала на оси времени не зависит.

2. ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБА ВРЕМЕНИ

Пусть сигнал , изображенный на рис. 2.13 сплошной линией, подвергся сжатию во времени.

Рис. 2.13. Сжатие сигнала при сохранении его формы и амплитуды

Новый сжатый сигнал (штриховая кривая на рис. 2.13) связан с исходным соотношением .

Длительность импульса в раз меньше, чем исходного, и равна Спектральная плотность сжатого импульса

Вводя новую переменную интегрирования , получаем

Но интеграл в правой части этого выражения есть не что иное, как спектральная плотность исходного сигнала при частоте .

Таким образом,

Итак, при сжатии сигнала в раз на временнбй оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в раз. Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т. е. при ) имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

3. СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА

Применим (2.48) к произведению

Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спектральная плотность функции при частоте , а второй интеграл — при частоте . Поэтому полученное выше соотношение можно записать в форме

где — спектральная плотность сигнала .

Из выражения (2.58) вытекает» что расщепление спектра на две части, смещенные соответственно на , эквивалентно умножению функции на гармоническое колебание .

Более подробно это положение рассматривается в гл. 3 при изучении модулированных колебаний.

4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛА

Дифференцирование сигнала можно трактовать как почленное дифференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Но производная функции равна из чего непосредственно вытекают следующие соответствия:

К этому результату можно прийти также из общего преобразования Фурье

Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, поскольку при (условие интегрируемости сигнала).

Аналогичным образом можно показать, что сигналу

соответствует спектральная плотность

Следует, однако, подчеркнуть, что в отличие от операции операция законна только для сигналов, отвечающих условию , т. е. для сигналов с нулевой площадью

5. СЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ

Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным, очевидно, что при сложении сигналов , обладающих спектрами суммарному сигналу соответствует спектр .

6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ СИГНАЛОВ

Пусть рассматриваемый сигнал является произведением двух функций времени .

Используя общую формулу (2.48), определяем спектр сигнала s(t)

Каждую функцию можно представить в виде интеграла Фурье:

Подставляя в (2.61) второй из этих интегралов, получаем

Заключенный в квадратные скобки интеграл по переменной t представляет собой спектральную плотность функции при частоте , т. е. . Следовательно,

Итак, спектр произведения двух функций времени равен, (с коэффициентом ) свертке их спектров и G (со).

Из выражений (2.61) и (2.62) в частном случае вытекает следующее равенство:

Заменяя в последнем выражении на , получаем

где — спектральная функция, комплексно-сопряженная функция .

Аналогично можно показать, что произведению двух спектров соответствует функция времени s(t), являющаяся сверткой функций f(t) и g(t):

Последнее выражение особенно широко используется при анализе передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции времени имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной характеристики цепи (см. § 6.3), — спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.

7. ВЗАИМНАЯ ЗАМЕНЯЕМОСТЬ w И t В ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФУРЬЕ

Обратимся к общему выражению (2.48) и выясним свойства функции для различных функций .

1. Если есть функция, четная относительно t, то, переписывая выражение (2.48) в виде

убеждаемся, что при четности второй интеграл равен нулю, так как произведение является функцией, нечетной относительно t, а пределы интегрирования симметричны.

Таким образом, при четной относительно t, функция , определяемая первым интегралом, есть функция вещественная и четная относительно .

2. Если нечетна относительно то в нуль обращается первый интеграл и

В этом случае — нечетная и чисто мнимая функция.

3. Если, наконец, не является четной или нечетной функцией относительно t, то ее можно разложить на две функции: четную и нечетную . При этом представляет комплексную функцию, причем действительная ее часть четна, а мнимая нечетна относительно .

Из п. 1 вытекает, что при четной функции можно произвольно выбирать знак перед t в обратном преобразовании Фурье [см. (2.49)]: выберем знак минус и запишем формулу (2.49) в виде

В последнем интеграле заменим переменную интегрирования на t и параметр t на . Тогда левая часть должна быть записана в виде функции от аргумента

Но интеграл в последнем выражении можно рассматривать как спектральную плотность новой функции полученной заменой на t в выражении спектральной плотности сигнала

Обозначим эту спектральную плотность через . Тогда

Этот результат показывает, что переменные в преобразованиях Фурье взаимно заменимы, если колебанию (четному) соответствует спектр то колебанию соответствует спектр .