3.6. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
Используем полученные выше результаты для анализа колебания вида
Это выражение совпадает с (3.23) и (3.23) при модуляции частоты по закону 
. Начальная фаза 
, а также начальная фаза модулирующей функции v опущены для упрощения выкладок. При необходимости они легко могут быть введены в окончательные выражения.
В данном случае 
Подставляя 
в выражение (3.26), получаем
Учитывая, что множители 
являются периодическими функциями времени, разложим их в ряд Фурье.
В теории бесселевых функций доказываются следующие соотношения:
Здесь 
— бесселева функция первого рода n-го порядка от аргумента 
.
С помощью соотношений (3.28) и (3.29) уравнение (3.27) можно привести к виду
или в более развернутой форме
Таким образом, при частотной и фазовой модуляциях спектр колебания состоит из бесконечного числа боковых частот, расположенных попарно симметрично относительно несущей частоты 
и отличающихся от последней на 
, где 
— любое целое число. Амплитуда 
боковой составляющей 
, где 
— амплитуда немодулированного колебания, а 
— индекс модуляции. Отсюда следует, что вклад различных боковых частот в суммарную мощность модулированного колебания определяется величиной 
.
Рассмотрим режимы угловой модуляции при малых и больших значениях 
. Если 
так что имеют место приближенные равенства
то выражение (3.27) переходит в следующее:
Сравним это уравнение с уравнением для амплитудно-модулированного колебания, у которого модулирующая функция (т. е. передаваемое сообщение) такая же, как и при ЧМ. Так как выражение (3.32) получено из (3.25) для модуляции частоты по закону 
, то для удобства сравнения зададим модуляцию амплитуды по аналогичному закону 
. Тогда амплитудно-модулированное колебание запишется в форме
Из сравнения (3.32) и (3.33) видно, что при малых значениях 
спектр колебания, как и при AM, состоит из несущей частоты 
и двух боковых частот: верхней 
и нижней 
. Единственное отличие заключается в фазировке колебаний боковых частот относительно несущего колебания.
Рис. 3.15. Векторная диаграмма (а) и спектр колебания (б) при угловой модуляции с индексом m < 1
При AM фазы колебаний боковых частот симметричны относительно несущей частоты, а при угловой модуляции фаза колебания нижней боковой частоты сдвинута на 180° [знак минус перед последним слагаемым (3.32)]. Это положение иллюстрируется векторной диаграммой, показанной на рис. 3.15, а. Направление вектора 
при AM обозначено штриховой линией. Изменение направления этого вектора на 180° приводит к тому, что вектор модуляции DF всегда перпендикулярен к направлению вектора OD, изображающего несущее колебание. Вектор OF, изображающий результирующее колебание, изменяется как по фазе, так и по амплитуде; однако при 
амплитудные изменения настолько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию можно в первом приближении рассматривать как чисто фазовую.
Спектральная диаграмма для угловой модуляции при 
показана на рис. 3.15, б. Равенство амплитуд колебаний боковых частот сохраняется, а фаза колебания нижней частоты сдвинута на 180°. Амплитуды колебаний боковых частот равны 
и поэтому в данном случае индекс модуляции 
совпадает по значению с коэффициентом М, характеризующим глубину изменения амплитуды при AM: Заметим, что ширина спектра при 
равна 
как и при AM. Этот результат показывает, что при очень малых девиациях 
(по сравнению с 
) ширина спектра от 
не зависит.
При увеличении фазового отклонения, т. е. при возрастании 
, уравнение (3.32) и диаграмма на рис. 3.15, а не дают правильного представления о действительной картине явлений при частотной или фазовой модуляции. Это объясняется тем, что с помощью колебаний несущей частоты и всего лишь одной пары боковых частот невозможно представить колебание, частота или фаза которого изменяется в широких пределах, а амплитуда остается строго постоянной. Для получения правильной картины необходимо учитывать боковые частоты высших порядков в соответствии с выражением (3.31).
Рис. 3.16. Спектры колебания при угловой модуляции: 
При значениях индексов 
от 0,5 до 1 приобретает некоторое значение вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спектра должна быть приравнена 
Далее, при 
приходится учитывать третью и четвертую пары боковых частот и т. д.
Рис. 3.17. Фазировка колебаний боковых частот в различные моменты времени
Спектральные диаграммы для 
и 
приведены на рис. 3.16. Фазы колебаний на этих рисунках не учитываются, однако следует иметь в виду, что при нечетных 
амплитуды нижних боковых частот следует брать со знаком минус. Амплитуды всех составляющих спектра представлены на этих рисунках в виде вертикальных отрезков, длины которых равны 
, а расстояния от отрезка 
, соответствующего амплитуде колебания несущей частоты, равны 
, где 
— частота модуляции, 
— порядковый номер боковой частоты. Амплитуда результирующего колебания принята за 
обозначенные на рисунках величины 
определяют амплитуды колебаний соответствующих частот в долях от амплитуды результирующего колебания.
Векторные диаграммы для различных моментов 
при 
построенные по выражению (3.30), представлены на рис. 3.17, a-г. При 
, поэтому учтены только 
.
Рассмотрим теперь большие значения 
. Вопрос сводится к выяснению зависимости бесселевой функции 
от порядкового номера 
при больших значениях аргумента т. Оказывается, что при 
величина 
более или менее равномерна при всех целых значениях 
меньших, чем аргумент 
. При 
близких к 
образует всплеск, а при дальнейшем увеличении 
функция 
быстро убывает до нуля. Общий характер этой зависимости показан на рис. 3.18 для 
Из рисунка видно, что наивысший номер 
боковой частоты, которую еще необходимо принимать в расчет, приблизительно равен индексу модуляции 
(в данном случае 
).
Приравнивая это максимальное значение птах величине 
приходим к выводу, что полная ширина спектра частотно-модулированного колебания
Но 
, следовательно, при больших индексах модуляции ширина спектра модулированного колебания близка к удвоенной девиации частоты
Эта полоса частот обозначена в нижней части рис. 3.18.
Заметим, что в соответствии с определением 
[см. (3.24)] выражение «модуляция с малым индексом» эквивалентно выражению «быстрая модуляция», а выражение «модуляция с большим индексом» эквивалентно выражению «медленная модуля
Рис. 3.18. Ширина спектра ЧМ колебания при больших значениях индекса модуляции
) ширина спектра модулированного колебания близка к значению 
при медленной угловой модуляции (когда 
) ширина спектра близка к значению 
.
