12.8. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
1. ТРАНСВЕРСАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР ПЕРВОГО ПОРЯДКА (рис. 12.12)
Разностное уравнение подобного фильтра в соответствии с выражениями (12.1) имеет вид
(12.40)
а импульсная характеристика представляет собой пару импульсов:
(12.41)
Передаточная функция в соответствии с (12.9) принимает вид
(12.42)
а при представлении на
-плоскости
(12.42)
Масштабный коэффициент
можно без ограничения общности приравнять единице.
На
-плоскости функция
обращается в нуль в точке
(рис. 12.13, а).
Для определения АЧХ фильтра подставим в (12.42)
и найдем модуль функции
(12.43)
Результаты вычислений АЧХ для
и 1 представлены графически на рис. 12.13, б. Аналогичные построения для <0 представлены на рис. 12.14.
Рис. 12.12. Трансверсальный фильтр первого порядка
Рис. 12.13. Расположение нулей передаточной функции (а) и АЧХ (б) фильтра, представленного на рис. 12.12, при лоложительных коэффициентах
Рис. 12.14. То же, что на рис. 12.13, при отрицательных коэфициентах
Фазо-частотная характеристика фильтра
(12.44)
Вне частотного интервала
характеристики должны быть продолжены периодически. Из рис. 12.13, б и 12.14, б видно, что при
фильтр можно использовать для подавления колебаний с частотами, близкими к
а при
— близкими к
Подобные фильтры часто называют гребенчатыми режекторными фильтрами.
Заметим, что при
фазо-частотная характеристика линейна:
(12.44)
2. РЕКУРСИВНЫЙ ФИЛЬТР ПЕРВОГО ПОРЯДКА (рис. 12.15)
Разностное уравнение в данном случае имеет вид
(12.45)
а импульсная характеристика
(12.46)
Рис. 12.15. Рекурсивный фильтр первого порядка
Рис. 12.16. Импульсная характеристика рекурсивного фильтра первого порядка при положительном (а) и отрицательном (б) коэффициентах
Рис. 12.17. Амплитудно-частотные характеристики рекурсивного фильтра (рис. 12.13)
Это выражение получается последовательным обходом кольца обратной связи.
Импульсная характеристика при
показана на рис. 12.16, а, при
— на рис. 12.16, б.
При любом знаке
для устойчивости цепи должно выполняться условие
[см. пояснения к (12.33)].
Передаточная функция определяется по формуле (12.30):
(12.47)
Эту же функцию можно представить в форме геометрической прогрессии
(12.47)
которую можно также получить, применив преобразование Лапласа к выражению (12.46) с последующей подстановкой
.
На
-плоскости функция
имеет один полюс в точке
. Амплитудно-частотная характеристика рассматриваемого фильтра
(12.48)
существенно зависит от знака весового коэффициента
. Форма АЧХ при нескольких значениях
показана на рис. 12.17. При
получается гребенчатый фильтр, выделяющий частоты
, а при
— частоты
и т. д. С приближением
к единице полоса прозрачности фильтра уменьшается, а усиление резко возрастает. Фазо-частотная характеристика рассматриваемого фильтра
(12.49)
Сопоставим выражение (12.47) с (12.22). Видно, что (12.47) есть
-преобразование экспоненты, отвечающей условию
Следовательно, выражение (12.46) можно записать в форме
(12.50)
Но это выражение есть не что иное, как результат дискретизации эксноненты
с шагом Т [см. (2.122)].
Рис. 12.18. Амплитудно-частотные характеристики цифровой (сплошная линия) и аналоговой (штриховая)
-цепей при
Таким образом, приходим к заключению, что дискретная импульсная характеристика
цепи, представленной на рис. 12.15, совпадает с последовательностью отсчетов импульсной характеристики
аналоговой цепи (например
-цепи), постоянная времени которой
отвечает условию
При этом, однако, АЧХ цепей существенно различны. Для дискретной цепи АЧХ определяется формулой (12.48), а для аналоговой
-цепи выражением
На рис. 12.18 АЧХ дискретной цепи (нормированная по максимальному значению) сравнивается с АЧХ аналоговой
-цепи при
(чему соответствует
). На участке
обе кривые почти совпадают (при
), а на участке
ход АЧХ
обусловлен периодической структурой дискретного фильтра.
3. ТРАНСВЕРСАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР ВТОРОГО ПОРЯДКА (рис. 12.19)
Разностное уравнение фильтра
имеет вид
а импульсная характеристика
Передаточная функция в соответствии с (12.9)
(12.51)
Как и в предыдущих примерах, положим
. Функция
имеет нули в точках
Двухкратный полюс, расположенный в точке
не влияет на поведение передаточной функции на
-плоскости.
Рис. 12.19. Трансверсальный фильтр второго порядка (а) и положение нулей на
-плоскости (б)
Особый интерес представляет случай
, когда
Модуль этого выражения равен единице, так что комплексно-сопряженные нули
лежат на окружности единичного радиуса (рис. 12.19, б).
Амплитудно-частотная характеристика подобного фильтра легко определяется из выражения (12.51) при подстановке
:
(12.52)
Домножив правую часть этого выражения на
, получим
(12.52)
Изменением коэффициента
можно перемещать нули
по окружности единичного радиуса, что равносильно перемещению. нулей на оси частот.
В частности, при
получается двухкратный нуль в точке
. При этом АЧХ принимает следующий вид:
(12.53)
График этой функции, представленный на рис. 12,20 сплошной линией, соответствует широко распространенному в практике режекторному фильтру второго порядка с бесконечно большим затуханием на частоте
.
При
нули
(см. 12.19, б). Соответствующая АЧХ изображена на рис. 12.20 (штриховая линия).
Сопоставим выражение (12.52) в частном случае
с аналогичным выражением (12.43) при
Рис. 12.20. Амплитудно-частотная характеристика фильтра (рис. 12.19, а) при
Очевидно, что режекторный фильтр второго порядка можно реализовать каскадным соединением двух фильтров первого порядка.
Очевидно также, что ФЧХ подобного фильтра линейна и может быть получена удвоением правой части формулы (12.44).
4. РЕКУРСИВНЫЙ ФИЛЬТР ВТОРОГО ПОРЯДКА (РИС. 12.21)
Передаточную функцию запишем сначала в форме
(12.54)
соответствующей случаю
когда нули передаточной функции (в данном саучае двухкратный нуль) имеются только в точке
, т. е. в центре окружности единичного радиуса.
Корни уравнения
(полюсы)
(12.55)
При
и, кроме того,
полюсы
— комплексно-сопряженные числа:
В этом случае
откуда вытекают следующие соотношения между коэффициентами полинома в (12.54) и полюсами:
Представив
в форме
(12.56)
где
— расстояние полюса от начала координат, а
— азимут полюса (рис. 12.22), получим
(12.57)
Для определения АЧХ рассматриваемой цепи подставим в (12.54)
и возьмем модуль
(12.58)
Рис. 12.21. Рекурсивный цифровой фильтр второго порядка
Рис. 12.22. Положение полюсов цифрового фильтра на z-плоскости
Рис. 12.23. Амплитудно-частотные характеристики рекурсивного фильтра второго порядка (рис. 12.21) при
При заданном положении полюсов (т. е. при заданных
АЧХ удобно строить по формуле (12.38), измеряя
по чертежу. В данном случае для упрощения вычислений используем формулу (12.58) для частного случая
90°. При этом выражение (12.58) легко приводится к виду
(12.59)
Графики функции
для
представлены на рис. 12.23. С приближением
к единице рассматриваемая цепь приближается к резонатору с весьма высокой добротностью. При этом, однако, возникает опасность потери устойчивости.
Рассмотрим передаточную функцию второго порядка более общего вида, соответствующую схеме на рис. 12.21:
(12.60)
Как указывалось в § 12.5 [см. формулу (12.12) и пояснение к ней], фильтр с передаточной функцией (12.60) можно трактовать как каскадное соединение нерекурсивного фильтра [с передаточной функцией
] и рекурсивного [с передаточной функцией
]. Такое сочетание можно использовать, в частности, в режекторном фильтре, рассмотренном в
и дополненном обратными связями для выравнивания АЧХ в полосе прозрачности фильтра.
На рис. 12.24 показаны график функции
перенесенный с рис. 12.20 (при
), график функции
при коэффициентах
, а также результирующая АЧХ.
Рис. 12.24. Амплитудно-частотные характеристики рекурсивного звена с прямыми связями (I), звена с обратными связями (II) и цифрового фильтра в целом