14.3. ФУНКЦИИ УОЛША
Функции Уолша и Радемахера, известные с 1922 г., были надолго преданы забвению. Интерес к этим функциям и широкое их распространение связаны с развитием вычислительной техники.
Существуют различные способы определения функций Уолша. Рассмотрим способ, основанный на взаимосвязи функций Уолша с функциями Радемахера. Последние, в свою очередь, получаются из синусоидальных функций с помощью соотношения
(14.19)
где аргумент
есть безразмерное время, т. е. время, нормированное к произвольному интервалу
, а целое положительное число k — порядок функции. Символом
(сигнум-функция) обозначается функция
(14.20)
В соответствии с (14.19) и (14.20) функции Радемахера, принимающие одно из двух значений ± 1, имеют вид меандра (рис. 14.8).
Рис. 14.8. Первые четыре функции Радемахера
Функции Радемахера ортонормированы (см. § 2.2) с единичной весовой функцией на интервале
. Действительно, для любых двух функций
имеют место соотношения
Все функции Радемахера являются нечетными относительно середины интервала определения и, следовательно, не могут быть использованы для аппроксимации сигналов s (0), четных относительно момента
. Иными словами, система функций Радемахера — неполная (см. § 2.2).
Функции Уолша, образующие полную ортонормированную систему, можно сформировать, образуя произведения степеней соответствующих функций Радемахера. Первые восемь функций Уолша представлены на рис. 14.9. Сопоставление этих функций с функциями Радемахера (рис. 14.8) позволяет составить очевидные, по крайней мере для первых четырех функций Уолша, соотношения
Нетрудно также проверить правильность соотношений
Итак, каждая функция Уолша,
за номером w, входящая в систему из
функций, является произведением степеней первых
функций Радемахера. Принцип нахождения показателей этих степеней поясняется табл. 14.1 на примере
.
В таблице использованы следующие обозначения:
— номер функции в системе (в десятичном счислении);
разряд представления числа w в двоичной системе счисления, т. е.
(14.21)
Рис. 14.9. Первые восемь функций Уолша и их нумерация при различных способах упорядочения
Таблица 14.1
В выражении (14.21)
— число разрядов,
может принимать одно из двух значений — нуль или единица,
равно нулю по определению.
Символ
обозначает поразрядное суммирование по модулю 2 по правилам
(14.22)
Показанный в табл. 14.1 способ построения функций Уолша можно выразить аналитически для любого
в виде следующего соотношения:
(14.23)
Поясним применение (14.23) на примере шестой функции Уолша
входящей в систему размером
. Произведение в (14.23) состоит из трех множителей вида
Подстановкой в левую часть (14.21)
и
получаем
откуда следуют равенства
Таким образом,
и по формуле (14.23)
Из рис. 14.9 видно, что четным относительно середины интервала определения
функциям
соответствуют четные номера
нечетным функциям — нечетные номера. Такое взаимно-однозначное соответствие между четностью функций
и четностью их номеров
аналогично свойствам тригонометрических функций
(рис. 14.10).
Поэтому иногда применяются обозначения
для четных и
для нечетных функций Уолша. Легко проверить, что функции
связаны с функциями
следующими соотношениями:
Эти обозначения указаны в таблице на рис. 14.9.
Функции Уолша ортонормированы на интервале
.
(14.24)
Функции Уолща обладают свойством мультипликативности, т. е. перемножение двух функций Уолша дает другую функцию Уолша, причем
(14.25)
Функции Уолша
обладают свойством симметрии, проявляющимся в том, что все выводы относительно i справедливы также и относительно 0.
Например, свойство мультипликативности (14.25) с учетом свойства симметрии запишется в виде
(14.26)
Умножение любой функции Уолша самой на себя дает функцию нулевого порядка
, так как в результате получаются только произведения вида (+1)(+1) и (-1) (-1). Таким образом,
Очевидно также, что умножение
на
не изменяет функцию
.
Функции Уолша иногда определяют на интервале
. Первые восемь функций на указанном интервале представлены на рис. 14.11.
Функции Уолша могут служить базисом спектрального (негармонического) представления сигналов.
Рис. 14.10. Четность номеров косинусоидальных и нечетность номеров синусоидальных функций
Рис. 14.11. Первые восемь функций Уолша на интервале
Указанные смещенные функции соответствуют функциям Уолша
(также смещенным). Для получения остальных функций Уолша используются сумматоры по модулю 2 (на рис. 14.12 обозначены
) с инверсными выходами. Подобные сумматоры представляют собой устройство совпадения, которому соответствует следующая таблица истинности:
Легко убедиться, что при подаче на сумматор функций
и
на выходе получается функция Уолша
т. е. эффект, эквивалентный перемножению соответствующих функций
и
(см. табл. 14.1).
Аналогично при объединении в сумматоре функций
имеем
и т. д.
Для получения несмещенных функций Уолша, которые могут принимать значения
, используются коммутаторы на операционных усилителях
(с большим коэффициентом усиления для сокращения длительности фронтов). На инвертирующие входы усилителей задается смещающее напряжением, выбираемое из интервала
. Если поступающее с сумматора напряжение
, то на выходе коммутатора возникает напряжение
, при
— напряжение — Е, что соответствует
функции wal (1, 0), wal (3, 0) и wal (7, 0) получаются без обращения к сумматорам.