8.17. ТЕОРЕМА МЭНЛИ—РОУ

Важные соотношения (8.104), выведенные для квадратичной вольт-кулонной характеристики, можно распространить и на более сильную нелинейность, когда в спектре тока, протекающего через нелинейную емкость существует большее число составляющих с частотами вида (тип — целые числа, которые в отличие от § 8.4 могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. При этом сохраняется условие , где k — степень полинома, аппроксимирующего нелинейную характеристику).

Известна теорема Мэнли—Роу, устанавливающая энергетические соотношения в спектре колебания в цепи, содержащей реактивную нелинейность (емкость или индуктивность) при произвольном порядке нелинейности и произвольном числе генераторов.

Модель цепи, используемая при выводе теоремы Мэнли—Роу, представлена на рис. 8.50, б (для двух генераторов). Число параллельных ветвей равно числу составляющих в спектре тока, протекающего через . Каждая ветвь содержит идеальный фильтр, пропускающий только колебание с соответствующей частотой. Идеальный фильтр можно представлять в виде последовательного соединения элементов L и С, отвечающих условию . «Пустые» ветви, не содержащие сопротивлений Z, замыкают накоротко внешнюю цепь конденсатора для токов соответствующей частоты. Таким образом, на воздействуют помимо напряжений генераторов только напряжения, создаваемые токами комбинационных частот в со: ответствующих нагруженных ветвях.

Замечаем, что при включении только в одну ветвь, соответствующую частоте получается модель цепи, эквивалентная ранее рассмотренной последовательной схеме с двумя генераторами и одним сопротивлением (см. рис. 8.50, а).

Прежде чем давать общую формулировку теоремы, выведем уравнения Мэнли—Роу для случая, когда нагружена всего лишь одна ветвь, содержащая фильтр, пропускающий частоту

Основываясь на законе сохранения энергии, исходим из условия, что сумма средних мощностей, поступающих в элемент и отбираемых от него, равна нулю (конденсатор свободен от потерь):

(8.105)

Приведенное ранее выражение (8.103) иллюстрирует это равенство.

Выразим мощности через энергию, выделяемую за один период соответственно

Тогда равенство (8.105) можно записать в форме

Поскольку частоты могут принимать любые значения, то это равенство возможно, только если каждое слагаемое равно нулю по отдельности:

Переходя от энергии к мощности, получаем

В общем случае при произвольном числе нагруженных ветвей приведенные уравнения должны быть просуммированы по всем возможным при заданной нелинейности значениям тип, что приводит к общей формулировке теоремы Мэнли—Роу:

где — частоты генераторов, возбуждающих систему; — мощность колебания частоты целые числа тип определяют порядок комбинационного колебания.

Выражения (8.106) можно распространить на любые реактивности — емкостные и индуктивные — при условии отсутствия гистерезиса.

При рассмотрении систем с нелинейностью второго порядка вычисление сумм в (8.106) не связано с какими-либо трудностями.

Поясним применение выражений (8.106) на примере рассмотренной ранее цепи (см. рис. 8.50, а), возбуждаемой двумя генераторами на частотах Кроме этих частот на пассивном элементе создается одно комбинационное колебание с резонасной частотой

В соответствии с обозначениями выражений (8.106) частоту следует рассматривать как значение знаменателя при и а мощность на этой частоте Частоте соответствуют индексы суммирования и мощность Наконец, частоте соответствуют индексы и мощность

Тогда внутреняя сумма в первом равенстве (8.106) дает

Суммируя полученное выражение по , получаем первое равенство (8.106)

(Слагаемые, содержащие отброшены.) Таким образом,

или

Аналогичным образом равенство в (8.106) дает

Итак, получаем пропорции

совпадающие с выражением (8.104).

Из проведенного анализа видно, что с помощью нелинейной емкости можно осуществить преобразование спектра, сопровождающееся перекачкой энергии из одного источника в другой. Так, если — частота принимаемого сигнала, а — частота гетеродина, то можно выделить комбинационную частоту с одновременным усилением мощности колебания на этой частоте. Напомним, что при использовании резистивного нелинейного элемента преобразование частоты сигнала (см. § 8.11) не сопровождается перекачкой энергии от гетеродина.

Приведенные выше соотношения будут использованы в § 10.7 при анализе работы параметрического усилителя.