8.14. РЕЗОНАНС В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ С НЕЛИНЕЙНОЙ ЕМКОСТЬЮ
Широкое распространение получили электронные способы управления резонансной частотой колебательной системы с помощью варикапа, подключаемого к основной емкости контура.
Рассмотрим некоторые особенности резонансных явлений в контуре, у которого
и L линейные (и постоянные) элементы, а
— нелинейная, зависящая от напряжения емкость. В контур включен источник гармонической ЭДС
амплитуда Е поддерживается неизменной, а частота
медленно изменяется, как это обычно делается при снятии резонансной характеристики контура.
Исходим из дифференциального уравнения
Переходя от тока i к заряду q и учитывая, что
а напряжение на емкости
переписываем уравнение (8.78) в форме
Заметим, что нелинейная емкость
является функцией и q. Поэтому слагаемое
можно представить в виде нелинейной функции
а дифференциальное уравнение можно записать в виде
где
В отсутствие нелинейности функция
должна обращаться в —
, где
. Поэтому функцию
удобно аппроксимировать выражением
где
параметр, учитывающий нелинейность вольт-кулонной характеристики конденсатора при больших амплитудах.
Выбор такой аппроксимации, значительно упрощающей анализ нелинейного уравнения, не снижает существенно общности выводов (по крайней мере, качественных).
Подставляя (8.80) в (8.79), приходим к уравнению
Нас интересует амплитуда заряда
при заданной частоте
в установившемся режиме. Поэтому задача сводится к отысканию периодического решения уравнения (8.81). Следует, однако, иметь в виду, что благодаря нелинейному характеру этого уравнения возможны периодические решения как с частотой внешней силы
так и с частотами
(гармоники) или
(субгармоники);
— любое целое положительное число.
Если затухание контура
мало (добротность велика), а резонансная частота
близка к частоте внешней силы, то в первом приближении решение уравнения (8.81) можно искать в виде гармонического колебания
где А и
— подлежащие определению амплитуда и фаза (постоянные) заряда.
Подстановка (8.82) в (8.81) приводит к следующим двум уравнениям:
Слагаемое с частотой За» было отброшено вследствие высокой избирательности контура.
Исключая далее из уравнений (8.83), (8.84) фазу [поскольку нас интересует зависимость
приходим к выражению
содержащему искомую зависимость между амплитудой А и частотой о) при заданных
а и Е.
Прямое решение этого уравнения относительно А затруднительно, так как искомая амплитуда входит в него в шестой степени. Поэтому можно поступить следующим образом; задаваясь амплитудой А, находим соответствующую частоту внешней силы
, после чего строим график функции
откладывая
на оси абсцисс, а
на оси ординат.
Имея в виду такую последовательность вычислений, решаем уравнение (8.85) относительно
:
Заметим, что при
а также при очень малых
, т. е. когда нелинейность контура не проявляется, уравнение (8.85) приводит к обычному решению для амплитуды
:
С увеличением
характер резонансных кривых
изменяется. В зависимости от амплитуды внешней ЭДС Е уравнение (8.86) определяет семейство кривых, изображенных на рис. 8.47. Амплитудные кривые «запрокидываются», и тем сильнее, чем больше Е.
Это явление можно объяснить изменением среднего значения нелинейной емкости в зависимости от
. Действительно, из аппроксимации (8.80) вытекает следующее выражение:
Подставив (8.82), получим (при
)
Рис. 8.47. Резонансные кривые контура с нелинейной емкостью (при
)
Рис. 8.48. Двузначность АЧХ колебательного контура с нелинейной емкостью
В результате усреднения правой части по времени
С увеличением А средняя емкость уменьшается (при
) и соответственно увеличивается резонансная частота контура. При постепенном повышении частоты ЭДС, при приближении
к
(участок 1—2 на рис. 8.48) из-за увеличения А резонансная частота «уходит» от
, чем и объясняется сдвиг максимума вправо. В точке
в которой касательная к кривой
вертикальна,
скачком переходит на нижнюю ветвь кривой. При понижении частоты со наблюдается аналогичная картина, только в обратном порядке: скачок в сторону увеличения амплитуды наблюдается в точке II после монотонного изменения амплитуды на участке 4.
Таким образом, в области
(для
имеется участок 2—3, на котором функция
двузначна. Это указывает на существование неустойчивости одного из состояний системы. Явление, подобное описанному, имеет место и при других формах нелинейной зависимости
Различие, лишь в количественных соотношениях.
Для варикапа
Поэтому резонансные кривые в отличие от рис. 8.47 наклонены в сторону нижних частот. Если контур настроен на частоту, близкую к
где
— целое число, то создаются условия, благоприятные для выделения субгармоник. Подобный прием иногда используется для осуществления деления частоты.
В тех случаях, когда требуется по возможности точно определить амплитуду и фазу периодического решения нелинейного уравнения (8.82) с учетом гармоник и субгармоник, применяются различные методы анализа, основанные на принципе последовательного приближения.