15.5. СИНТЕЗ ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ. ФИЛЬТР БАТТЕРВОРТА
Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ представлена на рис. 15.7. При аппроксимации АЧХ на оси абсцисс обычно откладывается безразмерная (нормированная) частота 
, где 
— частота среза, а по оси ординат — нормированное значение 
.
Аппроксимирующую функцию для идеальной АЧХ фильтра, показанной на рис. 15.7, задают в виде
(15.19)
причем накладывают условие, чтобы функция 
по модулю была минимальна в полосе 
и максимальна при 
.
Простейшей функцией, отвечающей этому требованию, является функция 
При этом
(15.20)
Графики функции (15.19) при нескольких значениях 
показаны на рис. 15.8. Определяемая выражением (15.20) аппроксимирующая функция получила название функции Баттерворта, а фильтры, синтезированные на основе этой функции, называются фильтрами Баттерворта. При частоте среза 
) функции Баттерворта любого порядка 
равны 1/2, что соответствует ослаблению АЧХ 
(на 3 дБ). Аппроксимацию по Баттерворту часто называют максимально плоской.
При исчислении 
в децибелах (15.19) приводится к виду
Если безразмерную частоту 
представить в виде степени числа 2, т. е. 
, где 
— число октав, то
(15.21)
График зависимости К в децибелах от у показан на рис. 15.9. На частоте среза 
затухание равно 3 дБ независимо от порядка 
.
Вне полосы прозрачности фильтра, при 
выражение (15.21) определяет прямую линию
(15.22)
Таким образом, ослабление АЧХ равно 
на одну октаву (т. е. при изменении частоты 
вдвое, а у на одну единицу).
Для удовлетворительной аппроксимации прямоугольной характеристики (см. рис. 15.7) с помощью функции Баттерворта требуются относительно высокие значения 
.
Рис. 15.7. Амплитудно-частотная характеристика идеального фильтра нижних частот
Рис. 15.8. Аппроксимирующие функции Баттерворта
Рис. 15.9. Затухание в фильтре Баттерворта в зависимости от числа октав
Рис. 15.10. Расположение полюсов передаточной функции фильтра Баттерворта третьего и четвертого порядков
Так, если необходимо, чтобы при 
ослабление (затухание) АЧХ было не менее 40 дБ, то 
. В данном случае 
и, следовательно, 
, т. е. требуется
Следующим шагом после определения 
является нахождение полюсов передаточной функции. Для, этого выразим (15.20) в форме (15.17), для чего в (15.20) приравниваем 
Рассматривая теперь поведение функции 
на 
-плоскости, находим полюсы как корни уравнения
или
(15.23)
С помощью соотношений 
где k — любое целое число, получаем для 
корня уравнения (15.23) следующее выражение:
(15.24)
причем число корней равно степени уравнения (15.23).
Модули всех полюсов 
равны единице, а аргументы
(15.25)
причем разность аргументов любых двух соседних корней равна 
. Следовательно, все полюсы функции 
лежат на окружности единичного радиуса и делят эту окружность на равные дуги 
. Аргумент первого полюса 
, а последнего 
.
Расположение полюсов на окружности единичного радиуса для фильтра Баттерворта третьего и четвертого порядков показано на рис. 15.10.
В соответствии с § 15.4 к передаточной функции синтезируемого фильтра относятся только полюсы, расположенные в левой полуплоскости.
Эти полюсы
(15.26)
Следует помнить, что формулы (15.23), (15,24) определяют значения нормированных переменных 
, т. е.
(15.27)
Все полюсы образуют комплексно-сопряженные пары, кроме одного полюса на вещественной оси при нечетном 
. Этому единственному полюсу соответствует 
Подставив 
по формуле (15.24) в общее выражение для передаточной функции
где 
— нули; 
— полюсы, получим передаточную функцию фильтра Баттерворта. Приведем эти выражения для 
.
При 
полюсы 
и по формулам (15.2) и (15.6) находим
(15.28)
При 
полюсы 
Передаточная функция
(15.29)
При 
передаточная функция приводится к виду
(15.30)
Коэффициенты полиномов в знаменателе передаточной функции Баттерворта приводится во многих пособиях по расчету фильтров.
Последним этапом синтеза ФНЧ является подбор элементов для типовых звеньев второго порядка, а при нечетных n — дополнительно для одного звена первого порядка.
