9.7. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Под фазовой плоскостью подразумевается плоскость, каждая точка которой однозначно определяет состояние (фазу) системы. Так как плоскость обладает двумя измерениями, то ясно, что метод фазовой плоскости применим к анализу систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка. Состояние механической системы полностью определяется заданием координаты (перемещение) и скорости движения.

Для электрической системы должны быть заданы две аналогичные переменные, например заряд емкости (или напряжение) и ток. Основным достоинством метода фазовой плоскости является пригодность его для анализа как линейных, так и нелинейных систем. Некоторые важные свойства нелинейных систем, которые невозможно или затруднительно исследовать аналитически, поддаются истолкованию и качественному исследованию с помощью графоаналитического построения на фазовой плоскости.

Суть этого метода проще всего объяснить на примере линейной системы (обычного колебательного контура), описываемой уравнением

в которой под можно подразумевать, например, заряд конденсатора.

Уравнение (9.45) может быть записано в виде системы двух уравнений первого порядка

Таким образом, если — заряд, то — ток в контуре.

Разделив второе из этих уравнений на первое, получим уравнение не содержащее в явной форме время

Входящие в уравнение (9.47) две переменные можно рассматривать как координаты изображающей (или представляющей) точки на плоскости . Тогда уравнение (9.47) является дифференциальным уравнением движения изображающей точки на фазовой плоскости у. Если найти решение уравнения , где А — произвольная постоянная, определяемая начальными условиями , то получим семейство кривых, являющихся интегральными по отношению к исходному уравнению (9.45). Функцию иногда называют первым интегралом уравнения (9.45), так как

На фазовой плоскости решение образует семейство фазовых траекторий изображающей точки, соответствующих различным фиксированным значениям А, т. е. различным начальным условиям Так как при заданных начальных условиях уравнение (9.45), и соответственно (9.47) имеют единственное решение, то каждой паре координат х, у отвечает одна, и только одна, интегральная кривая. Иными словами, вся фазовая плоскость покрыта семейством непересекающихся интегральных кривых (фазовых траекторий). Исключение из этого правила составляют точки, соответствующие состоянию равновесия системы — устойчивого или неустойчивого. В случае линейного уравнения фазовая траектория легко определяется с помощью уравнения типа (9.47). В более сложном случае нелинейного уравнения это построение выполняется с помощью метода изоклин. Термин «изоклина» эквивалентен понятию «кривая равного наклона». Изоклина представляет собой геометрическое место точек фазовой плоскости, в которых фазовые траектории имеют касательные с заданным (фиксированным) угловым коэффициентом k.

В частности, в уравнении (9.47) левая часть есть угловой коэффициент k. Приравнивая эту часть заданному значению k, получаем

откуда приходим к следующему уравнению изоклин:

При постоянных значениях k это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через начало координат.

Можно отметить следующие свойства фазовых траекторий:

а) в верхней полуплоскости изображающая точка движется только вправо, а в нижней — только влево. Действительно, поскольку у а время t только возрастает, то положительность у означает возрастание и абсциссы х. Соответственно, (нижняя полуплоскость), то изменение должно быть отрицательным, т. е. изображающая точка движется влево (рис. 9.19):

б) интегральные кривые пересекают ось абсцисс только под прямым углом. Действительно, из уравнения (9.47), представляющего собой уравнение углового коэффициента касательной к интегральной кривой в точке х, у, следует, что при

Основываясь на указанных свойствах фазовых траекторий, можно построить фазовые портреты системы, описываемой уравнением (9.45), при различных соотношениях между а и .

Предварительно полезно выяснить, нет ли среди семейства изоклин, определяемых выражением (9.48), такой прямой, которая является одновременно и интегральной кривой исходного уравнения (9.45), Такая прямая (если она имеется) должна удовлетворять уравнению (9.48) и, кроме того, условию . Отбрасывая постоянную G, приходим к двум условиям

из которых вытекает равенство и формула

Но k не может быть комплексной или мнимой величиной. Следовательно, искомая изоклина существует только при , т. е. в случае апериодического контура; при этом в пучке изоклин, определяемых выражением (9.48), имеются две интегральные кривые (рис. 9.20):

Кроме того, известна изоклина горизонтальных касательных, соответствующая k = 0 [см. (9.48).

Эти прямые, образующие «каркас» фазового портрета, в сочетании с условиями непересекаемости фазовых траекторий полностью определяют структуру фазового портрета, изображенного на рис. 9.20. Главной особенностью этого портрета является то, что при любых начальных условиях изображающая точка движется к началу координат. Таким образом, в рассматриваемом случае точка х = 0, у = 0 является точкой устойчивого равновесия системы. Эта точка называется особой точкой типа устойчивого узла.

Обратимся к случаю (колебательная система с затуханием).

В соответствии с условием (9.49) изоклины С и D отсутствуют. Кдркас фазового портрета определяется только прямой А и условием пересечения оси под прямыми углами. При угловой коэффициент этой прямой в соответствии с уравнением (9.50) отрицателен. Соответствующий этому случаю фазовый портрет, представляющий собой скручивающуюся к началу координат спираль, изображен на рис. 9.21. Из любого начального положения изображающая точка с течением времени приближается к началу координат, являющемуся точкой устойчивого равновесия. Эта точка называется особой точкой типа устойчивого фокуса.

Рассмотрим случай (колебательная система с инкрементом). Фазовый портрет отличается от показанного на рис. 9.21 лишь тем, что спираль раскручивается и изображающая точка удаляется от начала координат. Точка является особой точкой типа неустойчивого фокуса.

Применительно к рассматриваемому в следующем параграфе фазовому портрету автогенератора особый интерес приобретает случай когда уравнение (9.45) вырождается в уравнение гармонического колебания

решение которого, как известно, имеет вид

Здесь Q — амплитуда заряда конденсатора контура.

Уравнение фазовой траектории (9,47) при

— уравнение с разделяющимися переменными, которое легко интегрируется:

(9.53)

Подставляя вместо выражения (9.52), получаем

Разделив обе части уравнения (9.54) на С, придем к выражению

представляющему собой уравнение эллипса с горизонтальной полуосью Q и вертикальной полуосью (рис. 9.22).

Рис. 9.19. К построению фазового портрета по методу изоклин

Рис. 9.20. Фазовый портрет апериодиче ской системы при

Рис. 9.21. Фазовый портрет системы с затуханием при

Рис. 9.22. Фазовый портрет системы, описываемой уравнением (9.54) при

Итак, при фазовые траектории представляют собой семейство эллипсов с общим центром в начале координат, причем размеры осей эллипса определяются амплитудой гармонического колебания, т. е. в конечном счете энергией, запасенной в системе. Эта энергия может быть выражена в виде (максимальная энергия в емкости) или в виде (в индуктивности). Так как потери отсутствуют, то запас энергии остается неизменным («консервативная» система) и каждому значению запаса энергии соответствует свой эллипс.