13.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА

Под синтезом фильтра будем подразумевать отыскание передаточной функции физически осуществимого фильтра, обеспечивающего упомянутую выше максимизацию отношения сигнал-помеха. Передаточную функцию будем представлять в форме .

Таким образом, задача сводится к отысканию АЧХ и ФЧХ оптимального фильтра. Наиболее просто эта задача решается для сигнала, действующего на фоне белого шума с равномерным спектром .

Для отыскания оптимальной (в указанном смысле) передаточной функции составим выражения для сигнала и шума на выходе фильтра сначала порознь, а затем в виде их отношения.

Сигнал в фиксированный момент времени определяем общим выражением

а среднеквадратическое значение помехи — выражением

В выражении — спектральная плотность заданного входного сигнала , а под подразумевается момент времени (пока еще не определенный), соответствующий максимуму (пику) сигнала на выходе фильтра. Смысл и минимально возможное значение подробнее рассматриваются в следующем параграфе, однако из простых представлений очевидно, что для образования пика требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала. Иными словами, не может быть раньше момента окончания сигнала. Составим теперь отношение

Воспользуемся известным неравенством Шварца

где — в общем случае комйлексные функции.

Это неравенство обращается в равенство только при выполнении условия

т. е. когда функция пропорциональна функции, комплексно-сопряженной (А — произвольный постоянный коэффициент).

Приравнивая в (13.4) и , записываем неравенство (13.4) в форме

Тогда выражение (13.3) позволяет составить следующее неравенство:

Учитывая, выражение в квадратных скобках правой части этого неравенства есть не что иное, как полная энергия Э входного сигнала [см. (2.66)], приходим к следующему результату:

Наконец, из выражения (13.5) следует, что это неравенство обращается в равенство при выполнении условия

или, что то же

Полученное соотношение полностью определяет передаточную функцию фильтра, максимизирующего отношение сигнал-помеха на выходе (при входной помехе типа белого шума).

Функция , отвечающая условию (13.8), согласована со спектральными характеристиками сигнала — амплитудной и фазовой. В связи с этим рассматриваемый оптимальный фильтр часто называют согласованным фильтром.

Итак, отношение пика сигнала к среднеквадратическому значению помехи на выходе согласованного фильтра определяется равенством

Из соотношения (13.8) вытекают следующие два требования к согласованному фильтру:

Рис. 13.2. Соотношение между фазовыми характеристиками спектра сигнала на входе и выходе согласованного фильтра

Рис. 13.3. Спектральная плотность сигнала и АЧХ согласованного фильтра (а) и энергетические спектры на входе и выходе фильтра (б)

ФЧХ фильтра должна отвечать условию

(13.10)

АЧХ должна отвечать условию

(13.11)

В тех случаях, когда под комплексной передаточной функцией подразумевается безразмерная величина (например, отношение комплексных амплитуд напряжения на выходе и входе), постоянный коэффициент А должен иметь размерность, обратную размерности спектральной плотности сигнала.

Соотношения (13.10), (13.11) имеют глубокий физический смысл. Первое из них можно назвать условием компенсации начальных фаз в спектре сигнала, поскольку фазовый сдвиг в фильтре равен по величине и обратен по знаку начальной фазе соответствующей составляющей спектра входного сигнала. В результате прохождения сигнала через фильтр с фазовой характеристикой сложение всех компонентов спектра, скорректированных по фазе, образует пик выходного сигнала. Слагаемое фазовой характеристики равное указывает на то, что пик задержан относительно начала сигнала s(t) на время

Связь между ФЧХ входного спектра, компенсирующей ее характеристикой фильтра — и полной ФЧХ фильтра поясняется рис. 13.2.

После прохождения через фильтр спектр выходного сигнала будет иметь фазовую характеристику

показанную прямой линией на том же рисунке.

Соотношение (13.11), устанавливающее, что АЧХ фильтра должна по своей форме совпадать с амплитудным спектром сигнала также легко поддается физическому истолкованию. При АЧХ , отвечающей условию (13.11), фильтр пропускает спектральные составляющие шума неравномерно, с тем большим ослаблением, чем меньше модуль Это приводит к существенному уменьшению мощности шума на выходе фильтра. На рис. 13.3, бэта мощность определяется площадью (заштрихованной) под кривой . (Для наглядности характеристики на рис. 13.3 построены в предположении, что ) .

Ослабление сигнала из-за неравномерности характеристики выражено в меньшей степени, чем ослабление шума, поскольку уменьшение имеет место для спектральных составляющих, вклад которых в пиковое значение сигнала сравнительно мал.

В результате получается ослабление шума относительно сигнала» В сочетании с устранением фазовых сдвигов между спектральными составляющими сигнала это и приводит к максимизации отношения сигнал-помеха на выходе фильтра.