12.3. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА
Дискретный сигнал, действующий на входе цифрового фильтра, удобно представлять в форме, аналогичной (2.122), но с учетом начального условия
при
Соответственно изображение, по Лапласу будет [см. (2.125)]
Нетрудно составить аналогичное выражение для дискретного сигнала на выходе фильтра.
В случае трансверсального фильтра результирующий сигнал на выходе сумматора можно записать в виде суммы
Применив к этому выражению преобразование Лапласа, с учетом теоремы смещения получим
Передаточную функцию цифрового фильтра в общем виде определим отношением
Для трансверсального фильтра это отношение будет
Заметим, что выражение (12.7) можно также получить, применив преобразование Лапласа непосредственно к импульсной характеристике
представив ее в форме
Действительно,
Итак, импульсная характеристика и передаточная функция цифрового фильтра, как и в случае аналогового фильтра, связаны между собой преобразованиями Лапласа и Фурье.
Подставив в
, получим передаточную функцию на оси частот
Сопоставление выражений (12.9) и (2.124) показывает, что передаточная функция цифрового фильтра
как и спектры
имеют периодическую структуру с периодом (на оси частот), равным
.
Рис. 12.5. Амплитудно-частотная характеристика дискретного фильтра
Следовательно, передаточную функцию дискретного фильтра наряду с с (12.9) можно записать также в форме
где
— передаточная функция аналогового фильтра, обладающего импульсной характеристикой
, которая соответствует дискретной характеристике
(см. замечание в конце предыдущего параграфа).
Выражение (12.10) аналогично выражению (2.123). Если шаг Т мал по сравнению с протяженностью функции
или, что то же самое, частота повторения
больше полосы прозрачности фильтра, то частотные характеристики, соответствующие разным значениям
не перекрываются. В этом случае на центральном участке —
, т. е. при
характеристики
полностью совпадают. Это иллюстрируется рис. 12.5. для дискретного фильтра нижних частот при воздействии гармонического колебания
со спектральной плотностью
[см. (2.98)]. Сплошными линиями показан спектр до дискретизации, а штриховыми — периодическое продолжение этого спектра.
Амплитудно-частотная характеристика фильтра в центральном интервале показана также сплошной линией. После обратного преобразования дискретного сигнала «гвых
в континуальный сигнал
(с помощью СФ, см. рис. 12.2) только этот частотный интервал и определяет спектральный состав выходного сигнала.
Следует подчеркнуть важность этого заключения. По существу оно означает, что определение передаточной функции дискретного фильтра как отношения
можно распространить и на отношение
. Иными словами, выражение (12.6) можно трактовать как передаточную функцию дискретного фильтра в целом с учетом как процесса дискретизации сигнала
на входе, так и восстановления континуальной формы
на выходе устройства.
Определим теперь передаточную функцию рекурсивного цифрового фильтра. Повторяя рассуждения, приведшие к формуле (12.7), и учитывая разностное уравнение (12.4), приходим к следующему уравнению:
Применив к этому уравнению преобразование Лапласа, получим
откуда следует, что
Здесь Н — число суммируемых предшествующих входных, а М — предшествующих выходных отсчетов.
Полученную функцию можно трактовать как передаточную функцию каскадного соединения двух фильтров: одного с передаточной функцией
и второго с передаточной функцией
Таким образом,
Перейдя от переменной
к
запишем передаточную функцию рекурсивного фильтра
(12.12)
Такому представлению соответствует каноническая схема на рис. 12.6. Каждый элемент памяти Т в этой схеме используется как для цепи прямой связи (с весовым коэффициентом
), так и для цепи обратной связи (с весовым коэффициентом
). Поэтому общее число элементов памяти Т вдвое меньше, чем в схеме на рис. 12.4. Легко убедиться, что разностные уравнения (12.4) справедливы и для канонической схемы.
Рис. 12.6. Каноническая схема цифрового рекурсивного фильтра