2.12. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ СИГНАЛА И ШИРИНОЙ ЕГО СПЕКТРА. СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ СПЕКТРА

Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр. Для установления количественных соотношений между указанными параметрами сигнала необходимо условиться об определении понятий длительность сигнала и ширина его спектра. В практике применяются различные определения, выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы, а также от структуры спектра. В некоторых случаях выбор является произвольным. Так, ширину спектра прямоугольного импульса определяют либо как основание главного лепестка (например, в п. 1 § 2.10), либо на уровне от максимального значения спектральной плотности. Длительность колоколообразного импульса (см. § 2.10, п. 3) и ширину его спектра иногда определяют на уровне 0,606 от максимального значения соответственно или . Часто пользуются энергетическим критерием, понимая под шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю полной энергии сигнала.

Для практики важное значение имеет также оценка протяженности «хвостов» спектра вне полосы частот, содержащей основную часть энергии сигнала.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛОСА Х ДЛИТЕЛЬНОСТЬ

Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность сигнала и ширину спектра, в современной теории сигналов большое распространение получил метод моментов.

По аналогии с понятием момента инерции в механике эффективную длительность сигнала можно определить выражением

где середина импульса определяется из условия

Имеется в виду, что функция интегрируема с квадратом (сигнал с конечной энергией).

Аналогично эффективная ширина спектра определяется выражением

Так как модуль спектра не зависит от смещения во времени, можно положить Наконец, сигнал можно нормировать таким образом, чтобы его энергия Э равнялась единице и, следовательно,

При этих условиях выражения для и принимают вид

и, следовательно, произведение длительность x полоса

Нужно иметь в виду, что являются среднеквадратическими отклонениями соответственно от и . Поэтому полную длительность сигнала следует приравнять а полную ширину спектра (включая и область отрицательных частот) — величине .

Произведение зависит от формы сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2. Оказывается, что наименьшее возможное значение соответствует колоколообразному импульсу.

Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выражений для видно, что функция с увеличением t должна убывать быстрее, чем , а функция — быстрее, чем так как в противном случае соответствующие интегралы стремятся к бесконечности (расходятся).

В частности, это относится к спёктру строго прямоугольного импульса, когда

В этом случае выражение для не имеет смысла и оценку эффективной ширины спектра прямоугольного импульса приходится основывать на иных критериях.

Рассмотрим некоторые простые сигналы типа видеоимпульсов, т. е. сигналов, спектр которых сосредоточен в области низких частот, и определим с помощью равенства Парсеваля энергию, содержащуюся в полосе от до некоторой граничной частоты :

Относя затем к полной энергии импульса Э, определяем коэффициент

характеризующий концентрацию энергии в заданной полосе.

В качестве исходного сигнала примем прямоугольный импульс, затем рассмотрим треугольный и колоколообразный (гауссовский). Последний особенно показателен, так как для него обеспечивается максимально возможная концентрация энергии спектра в заданной полосе .

Для прямоугольного импульса в соответствии с (2.68)

Вычислив интеграл, получим

где - интегральный синус.

Переходя к аргументу , записываем

Для треугольного импульса, спектральная плотность которого определяется формулой (2.73), а полная энергия

Рис. 2.23. Доля энергии сигнала в полосе (а) и деформация импульса при усечении спектра (б)

где

Для гауссовского импульса в соответствии с (2.77) получаем

где — полная энергия гауссовского импульса, а функция

Учитывая, что длительность гауссовского импульса определена в п. 3 § 2.10 и равна , аргумент функции можно записать в форме Функции для трех импульсов представлены на рис. 2.23, а.

Итак, значение произведения требующееся для заданного максимально для прямоугольного импульса (при ) и минимально для гауссовского. В частности, уровню соответствуют значения , равные 1,8; 0,94 и 0,48.

Выбор границы спектра по энергетическому критерию в некоторых практических задачах не всегда приемлем. Так, если при обработке импульса требуется сохранить его форму достаточно близкой к прямоугольной, то должно быть гораздо больше единицы. Для иллюстрации этого важного положения на рис. 2.23, б показаны исходный импульс (штриховая линия) и его деформация при усечении спектра на уровнях .

В любом случае при заданной форме сигнала сжатие его во времени с целью, например, повышения точности определения момента его появления неизбежно сопровождается расширением спектра, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства.

Аналогично сжатие спектра импульса с целью повышения точности, измерения частоты неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что требует удлинения времени наблюдения (измерения). Невозможность одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коротком интервале времени представляет собой одно из проявлений известного в физике принципа неопределенности.

Вопрос о величине произведения длительность X полоса актуален в связи с проблемой электромагнитной совместимости, возникающей при взаимных помехах радиостанций. С этой точки зрения наиболее желательна форма импульсов, близкая к колоколообразной.

2. СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ СПЕКТРА ВНЕ ОСНОВНОЙ ПОЛОСЫ

Для выявления связи между поведением в области относительно высоких частот и структурой сигнала s(t) воспользуемся свойствами таких испытательных сигналов, как единичный импульс и единичный скачок.

Единичный импульс является единственной функцией, имеющей неубывающую спектральную плотность на всей оси частот —

Поэтому можно утверждать, что сигнал , спектр которого вне основной полосы не убывает с ростом , содержит в своем составе дельтафункцию (в реальных условиях достаточно мощный короткий импульс).

Далее, единственной функцией времени, имеющей спектральную плотность вида является единичный скачок и . Следовательно, убывание хвоста спектра сигнала по закону свидетельствует о наличии в функции скачков, т. е. разрывов непрерывности. Но в точках разрыва производная функции обращается в дельта-функцию (с постоянным коэффициентом, равным величине скачка). Поэтому убывание спектра пропорционально указывает на наличие дельта-функции в составе производной Это рассуждение можно продолжить и для производных сигнала более высоких порядков.

Проиллюстрируем сказанное примерами трех сигналов, представленных на рис. 2.24: с разрывом, с изломом и «гладкого» сигнала (без разрывов и изломов).

В первом примере (рис. 2.24, а) производная определяется выражением

и спектральная плотность функции в соответствии с табл. 2.1

Для определения спектральной плотности сигнала , являющегося интегралом от , можно исходить из выражения

В данном случае операция законна, поскольку [см. (2.60)].

При спектральная плотность . Как видно из рис. 2.24, а, это объясняется наличием функции в первой производной сигнала s(t).

Таблица 2.1

(см. скан)

Таблица 2.1 (продолжение)

(см. скан)

Во втором примере (рис. 2.24, б) производная функции

не содержит дельта-функции, но терпит в точке разрыв. После повторного дифференцирования получим функцию, отличающуюся от исходного сигнала только масштабом по оси ординат и наличием функции .

Следовательно, спектральная плотность второй производной

причем при эта функция равна .

Разделим теперь полученное выражение на и учтем, что есть спектральная плотность двухкратного интеграла от функции , т. е. .

Таким образом, можно составить следующее соотношение:

откуда вытекает равенство

При

Отсюда видно, что разрыв первой производной приводит к убыванию спектра по закону . Этот результат можно обобщить следующим образом: вне основной полосы частотный спектр убывает по закону где — порядок производной, при котором возникает первый разрыв.

Рис. 2.24. Примеры сигналов: а) с разрывом; б) с изломом; в) без разрыва и излома

С этой точки зрения сигнал, показанный на рис. 2.24, в, производные которого непрерывны при всех значениях , вплоть до должен обладать спектром, скорость убывания которого является максимально возможной. Этот вывод согласуется с тем, что произведение длительность полоса минимальна для колоколообразного импульса (см. п. 1 данного параграфа).

Основываясь на приведенных рассуждениях нетрудно также объяснить происхождение пульсации спектра вне основной полосы частот. Периодическая пульсация с неубывающими максимумами может возникать только в результате интерференции спектров двух дельта-функций, разнесенных во времени. Спектр прямоугольного импульса, пульсирующий с максимумами, убывающими по закону является наглядным примером интерференции спектров двух единичных скачков.