16.4. ГОМОМОРФНАЯ ОБРАБОТКА СВЕРНУТОГО СИГНАЛА

Пусть задан континуальный сигнал и требуется осуществить обработку, в результате которой выходной сигнал получится также в виде свертки , но с измененным соотношением между составными сигналами.

В данном случае операции совпадают с и каноническая форма системы обработки принимает вид, показанный на рис. 16.6, а.

В соответствии с (16.11) характеристическая система D должна отвечать условию

(16.13)

В отличие от мультипликативного сигнала (см. § 16.3) не существует подходящей функции для прямой реализации условия (16.13). Можно, однако, сначала перевести операцию свертки в операцию умножения, а затем произведение преобразовать в сумму.

Подвергнув входной сигнал преобразованию Фурье, получим [см. (16.9)]

(16.14)

Следующий шаг — преобразование произведения в сумму с помощью выражения

Применив, наконец, к обратное преобразование Фурье, придем к характеристической системе D.

Структурная схема D представлена на рис. 16.7, а. На выходе этой системы сигнал

(16.15)

Рис. 16.6. Гомоморфная обработка свернутого аналогового (а) и цифрового (б) сигналов

Функции по своей форме, естественно, существенно отличаются от исходных сигналов

На рис. 16.8, а представлена обратная характеристическая система . Эта система получается из D заменой преобразования на преобразование .

На вход системы подается сигнал с выхода линейной системы L.

После преобразования получаются спектральные функции . Дальнейшее преобразование вида приводит к произведению вида каждый из сомножителей которого также является спектральной функцией.

Наконец, обратное преобразование Фурье

(16.16)

определяет выходной сигнал в виде свертки, в которой сигналы изменены по сравнению с в требуемом соотношении.

Цифровой вариант характеристической системы представлен на рис. 16.7, б.

Сигнал (дискретный) на выходе этой системы определяется выражением, аналогичным (16.15):

(16.17)

Рис. 16.7. Характеристическая система D для континуального сигнала (а) и для цифрового сигнала (б)

Рис. 16.8. Представление систем D (на рис. 6 в выходном сигнале должен быть знак

Обратная характеристическая система представлена на рис. 16.8, б. Сигнал на выходе всего устройства

(16.18)

В практике наибольшее распространение получила гомоморфная обработка свернутого сигнала, заканчивающаяся выделением функций содержащих в себе всю информацию о входных сигналах . При этом необходимость в громоздких преобразованиях или отпадает, а выходные сигналы определяются с помощью соотношений (16.15) или (16.17).

Главная особенность указанных соотношений — замена спектральной плотности логарифмом , a z-преобразования — логарифмом .

Основанный на логарифмически-спектральном преобразовании метод привел к новому направлению в теории сигналов, получившему название кепстральный анализ.