16.3. ГОМОМОРФНАЯ ОБРАБОТКА МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО СИГНАЛА
Структурная схема обработки мультипликативного сигнала представлена на рис. 16.1 и описана в § 16.1. Наложенные при анализе этой схемы ограничения — действительные и ненулевые сигналы
а также разнесенность или несущественное перекрытие их спектров не препятствуют применению гомоморфной обработки в ряде важных для практики задач. К таким задачам относится, в частности, обработка сигналов телевизионного изображения. Дело в том, что, как правило, яркость фона на экране изменяется медленно, а контрастность изображения определяется высокочастотными изменениями сигнала, так что результирующий эффект можно считать пропорциональным произведению двух сигналов — низкочастотного
и высокочастотного
. По своей природе эти сигналы являются действительными и положительными функциями времени.
Примерный вид сигналов
представлен на рис. 16.3, а. Запишем их в форме
где
и
— постоянные составляющие соответственно функции
Тогда
В связи с тем, что сигнал
изменяется в широком динамическом диапазоне, соответственно изменяется и сигнал
. Это предъявляет жесткие требования к линейности амплитудной характеристики телевизионного тракта. Выгодно ослабить влияние
и подчеркнуть сигнал
от которого зависит контрастность изображения. Для выявления возможности такой обработки рассмотрим спектры сигналов.
Спектры исходных сигналов
показаны на рис.
Дельта-функции относятся к спектральным плотностям постоянных составляющих
обозначают спектры переменных составляющих
Спектр результирующего сигнала
представлен на рис. 16.4, а. Произведению
соответствует свертка спектров
.
С помощью обычных линейных фильтров можно отфильтровать постоянную составляющую и низкочастотную часть спектра в полосе от нуля до Q. Однако спектр
не поддается разделению с помощью линейной фильтрации. В этих условиях применение системы, представленной на рис. 16.1, оказывается весьма эффективным.
Рис. 16.3. К гомоморфной обработке мультипликативного сигнала: а) исходные сигналы
и их произведение; б) спектр медленно изменяющегося сигнала
спектр быстро изменяющегося сигнала
Рис. 16.4. Спектр мультипликативного сигнала (а) и спектр того же сигнала после логарифмического преобразования (б)