4.7. КОМПЛЕКСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС
Пусть задан действительный стационарный случайный процесс
со спектром
. В теории случайных процессов доказывается, что если
дифференцируем в среднеквадратическом смысле так, что выполняется условие
то к
можно применить интегральное преобразование
причем интеграл также понимается в среднеквадратическом смысле.
Определенный таким образом случайный (стационарный) процесс
по отношению к
является сопряженным (по Гильберту), а процесс
является комплексным случайным процессом.
Применение понятия комплексного случайного процесса особенно полезно при рассмотрении узкополосных процессов. Если
можно представить в виде
, где
— случайные функции, то, как и для детерминированного аналитического сигнала (см. § 3.10),
и
Поясним физический смысл этого понятия на модели (рис. 4.19), аналогичной использованной в гл. 3 модели формирования детерминированного аналитического сигнала (см. рис. 3.29).
Пусть узкополосный стационарный шум со спектром
поступает на выход по двум каналам: прямому и через фазосдвигающее звено с характеристикой
(в полосе шума). Различие между процессами
обусловлено лишь влиянием фазосдвигающего звена. Амплитудно-частотная характеристика этого звена равна единице, следовательно, спектры мощности процессов
одинаковы:
То же относится к корреляционным функциям
и к дисперсиям
(Имеются в виду процессы с нулевым средним.)
Найдем теперь спектральную и корреляционную функции совокупности процессов
С этой целью выделим одну из реализаций процесса
и обозначим через
спектральную плотность отрезка
реализации с конечной длительностью Т (см. § 4.3).
Рис. 4.19. Формирование случайного, аналитического процесса
Этот же отрезок k-й. реализации на выходе канала со звеном
будет иметь спектральную плотность
при
при
Рассматривая совокупность отрезков
как сумму квадратурных колебаний
можно определить спектральную плотность отрезка
следующим образом:
На основании этих равенств можно утверждать
что
является по отношению к
) функцией, сопряженной по Гильберту (см. § 3.9) и, следовательно, при определении спектра и корреляционной функции аналитического случайного процесса (4.84) исходить из выражений, аналогичных (3.87) и (3.95), выведенных в § 3.10 для детерминированного аналитического сигнала
Переходя в выражении (3.87) от спектральной плотности
колебания (напряжение, ток) к спектральной плотности
средней мощности исходного колебания х(t), получаем
Применяя теорему Винера — Хинчина [см. (4.39)], находим корреляционную функцию аналитического случайного процесса
Это выражение совершенно аналогично выражению (3.95). Как и для детерминированного аналитического сигнала,
— комплексная корреляционная функция. Действительная часть этой функии совпадает с удвоенной корреляционной функцией исходного процесса
, а мнимая часть учитывает взаимную корреляцию процессов
.
Комплексный характер корреляционной функции
обусловлен тем, что спектр
несимметричен относительно оси
, т. е. существует только в области
При
мнимая часть в соотношении (4.87) обращается в нуль, что означает некоррелированность процессов
в один и тот же момент
По аналогии с выражениями (3.96) можно написать
где